Question

[Pham Trong Bach]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $3^{x^2+y^2-2}.{\log }_2\left(x-y\right)=\frac{1}{2}\left[1+{\log }_2\left(1-xy\right)\right].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=2\left(x^3+y^3\right)-3xy.$ 

A. 7

B.  $\frac{13}{2}$

C. $\frac{17}{2}$

D. 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B

Ta có 

3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y ⇔ 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y

⇔ 3 x 2 + 2 x y + y 2 − 2 + 2 x y . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y ⇔ 3 x − y 2 . log 2 x − y = 3 2 − 2 x y . log 2 2 − 2 x y

⇔ 2 M = 2 x + y 2 x + y 2 − 3.2. x y − 3.2 x y                  = 2 x + y 2 x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 − 3 x + y 2 + 6

                  = 2 x + y 6 − x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 ,

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là  13 2