Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình chóp S.ABCD có A B C ^ = A D C ^ = 90 ° . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng A B C D , góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60°, C D = a  và Δ A D C  có diện tích bằng a 2 3 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

A. S = 16 π a 2

B. S = 4 π a 2

C. S = 32 π a 2

D. S = 8 π a 2

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

  C B ⊥ A B , C B ⊥ S A , A B ∩ S A = A ⇒ C B ⊥ S A B ⇒ C B ⊥ S B ⇒ Δ S B C    

vuông tại B.

Lại có  

C D ⊥ A D , C D ⊥ S A , A D ∩ S A = A ⇒ C D ⊥ S A D ⇒ C D ⊥ S D

  ⇒ Δ S D C vuông tại D.

Mặt khác   S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ A C ⇒ Δ S A C vuông tại A.

Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: Δ S A C , Δ S B C , Δ S D C  lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên I S = I A = I B = I C = I D = 1 2 S C . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính  R = 1 2 S C

2. Tính diện tích mặt cầu

Ta có  S C , A B C D ^ = S C , A C ^ = S C A ^ = 60 °

Do Δ A D C  vuông tại A nên   S ?A C = 1 2 A D . C D ⇔ A D = 2 S Δ A D C C D = a 2 3 a = a 3

⇒ A C = A D 2 + C D 2 = a 3 2 + a 2 = 2 a

Mà  A C = S C . cos S C A ^ ⇒ S C = 2 a cos 60 ° = 4 a

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R = S C 2 = 4 a 2 = 2 a  và diện tích mặt cầu là S = 4 π R 2 = 4 π . 2 a 2 = 16 π a 2  (đvdt).