Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục và không âm trên R thỏa mãn $f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=2x\sqrt{f^2\left(x\right)+1}$ và $f\left(0\right)=0$. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[1;3\right]$. Biết rằng giá trị của biểu thức $P=2M-m$ có dạng $a\sqrt{11}-b\sqrt{3}+c$, $\left(a,b,c\in \mathbb{Z}\right)$. Tính $a+b+c$ 

A. $a+b+c=4$

B. $a+b+c=7$

C. $a+b+c=6$

D. $a+b+c=5$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Từ

f x . f ' x = 2 x f 2 x + 1 ⇒ f x . f ' x f 2 x + 1 = 2 x ⇒ ∫ f x . f ' x f 2 x + 1 d x = ∫ 2 x d x

 (1)

Đặt  

f 2 x + 1 = t ⇒ f 2 x = t 2 − 1 ⇒ 2 f x . f ' x d x = 2 t d t ⇒ f x . f ' x d x = t d t

Suy ra   ∫ f x . f ' x f 2 x + 1 x = ∫ t d t t = ∫ d t = t + C 1 = f 2 x + 1 + C 1 và   ∫ 2 x d x = x 2 + C 2

Từ (1) ta suy ra  f 2 x + 1 + C 1 = x 2 + C 2   . Do   f 0 = 0 nên C 2 − C 1 = 1 .

Như vậy  

f 2 x + 1 = x 2 + C 2 − C 1 = x 2 + 1 ⇒ f 2 x = x 2 + 1 2 − 1 = x 4 + 2 x 2

⇒ f x = x 4 + 2 x 2 = x x 2 + 2 = x x 2 + 2

 (do x ∈ 1 ; 3 ).

Ta có f ' x = x 2 + 2 + x 2 x 2 + 2 = 2 x 2 + 1 x 2 + 2 > 0, ∀ x ∈ ℝ ⇒  Hàm số f x = x x 2 + 2  đồng biến trên R nên f x  cũng đồng biến trên  1 ; 3   .

Khi đó M = max 1 ; 3 f x = f 3 = 3 11  và m = min 1 ; 3 f x = f 1 = 3 .

Vậy 

P = 2 M − m = 6 11 − 3 ⇒ a = 6 ; b = 1 ; c = 0 ⇒ a + b + c = 7