Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn log 5 4 a 2 b 5 a b = a 3 b

PT

Pham Trong Bach

23 tháng 5 2017

Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn log 5 4 a + 2 b + 5 a + b = a + 3 b - 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a 2 + b 2 A. 1 2 B. 1. C. 3 2 D. 5 2 ...

Đọc tiếp

#Mẫu giáo

1

CM

Cao Minh Tâm

23 tháng 5 2017

Ta có:

Xét hàm số

Hàm số f t đồng biến trên 0 ; + ∞

ta có:

Chọn: D

Đúng(0)

B

Buddy

13 tháng 8 2023

Đề bài

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn ${a^3}{b^2} = 100$. Tính giá trị của biểu thức $P = 3\log a + 2\log b$

#Toán lớp 11

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 8 2023

$P=loga^3+logb^2=log\left(a^3b^2\right)=log\left(100\right)=10$

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hải Minh

14 tháng 5 2021 - olm

cho các số thực dương a b thỏa mãn ab=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P= a^2+b^2+5/(a+b+3)

#Toán lớp 8

4

YN

Yen Nhi

14 tháng 5 2021

$\text{Đặt}$$x=a+b\ge2$

$P=\frac{a^2+b^2+5}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2.1+3}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2ab+3}{a+b+3}=\frac{\left(a+b\right)^2+3}{a+b+3}=\frac{x^2+3}{x+3}$

$\Rightarrow P-\frac{7}{5}=\frac{x^2+3}{x+3}-\frac{7}{5}=\frac{\left(5x^2+15\right)-\left(7x+21\right)}{x+3}=\frac{\left(x-2\right).\left(5x+3\right)}{x+3}\ge0$

$\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của}$$P=\frac{7}{5}\Rightarrow x=2$

$\Rightarrow a+b=2;ab=1$

$\Rightarrow a=b=1$

Đúng(0)

PT

Phạm Thành Đông

15 tháng 5 2021

$P=a^2+b^2+\frac{5}{a+b+3}\left(a,b>0\right)$..

$P=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\right)-\frac{20}{a+b+3}$.

Trước hết, ta chứng minh được:

$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}$với $x,y,z\in R;m,n,p>0$$\left(1\right)$(tự chứng minh).

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}$.

Áp dụng bất đẳng thức $\left(1\right)$với $a,b>0$, ta được:

$\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\ge\frac{\left(a+b+5\right)^2}{1+1+a+b+3}=\frac{\left(a+b+5\right)^2}{a+b+5}$$=a+b+5$.

$\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{5^2}{a+b+3}-\frac{20}{a+b+3}\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}$.

$\Leftrightarrow P\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\left(2\right)$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{5}{a+b+3}=\frac{a+b+5}{1+1+a+b+3}=1$.

$\Leftrightarrow a=b=1$.

Vì $a,b>0$nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

$a+b\ge2\sqrt{ab}$.

$\Leftrightarrow a+b\ge2.\sqrt{1}=2.1=2$(vì $ab=1$).

$\Leftrightarrow a+b+3\ge5$.

$\Rightarrow\frac{1}{a+b+3}\le\frac{1}{5}$.

$\Rightarrow\frac{-1}{a+b+3}\ge-\frac{1}{5}$.

$\Leftrightarrow\frac{-20}{a+b+3}\ge\frac{-20}{5}=-4\left(3\right)$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$.

Ta lại có: $a+b\ge2$(chứng minh trên).

$\Leftrightarrow a+b+5\ge7\left(4\right)$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$.

Từ $\left(3\right)$và $\left(4\right)$, ta được:

$a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\ge7-4=3\left(5\right)$.

Từ $\left(2\right)$và $\left(5\right)$, ta được:

$P\ge3$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$.

Vậy $minP=3\Leftrightarrow a=b=1$.

Đúng(1)

PT

Pham Trong Bach

20 tháng 10 2017

Cho a;b là hai số thực dương thỏa mãn log 5 4 a + 2 b + 5 a + b = a + 3 b − 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a 2 + b 2 A. 1/2 B. 5/2 C. 3/2 ...

Đọc tiếp

#Mẫu giáo

1

CM

Cao Minh Tâm

20 tháng 10 2017

Đáp án B

Ta có: log 5 4 a + 2 b + 5 a + b = a + 3 b − 4

⇔ log 5 4 a + 2 b + 5 + 4 a + 2 b + 5 = log 5 5 a + 5 b + 5 a + 5 b

Xét hàm số f t = log 5 t + t t > 0 ⇒ f t đồng biến trên 0 ; + ∞

Do đó f 4 a + 2 b + 5 = f 5 a + 5 b ⇔ 4 a + 2 b + 5 = 5 a + 5 b

⇔ a + 3 b = 5 ⇒ T = 5 − 3 b 2 + b 2 = 10 b 2 − 30 b + 25 = 10 b − 3 2 2 + 5 2 ≥ 5 2

Đúng(0)

MA

Meches ali

1 tháng 1

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4

#Toán lớp 8

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

1 tháng 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2(1)$

$(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2(2)$

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9$(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ suy ra:
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\geq \frac{9^4}{27}=243$
Vậy GTNN của biểu thức là 243 khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Đúng(3)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

2 tháng 1

Đặt $P=\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4$ (do $a+b+c=1$)

$P=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^4.b^4.c^4}}.\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^4=3^5=243$

$P_{min}=243$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Đúng(1)

TT

Trần Tuyết Mai

3 tháng 11 2015 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của (2/ab) + (1/a^2+b^2) +(a^4+b^4/2)

#Toán lớp 9

0

N

Nguyên

5 tháng 6 2015 - olm

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=4, a.b.c=2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= a^4+b^4+c^4.

#Toán lớp 9

0

NT

Nguyễn Thị Mỹ vân

30 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn :a²+b²+c²=3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^5}{c^3+a^2}+\dfrac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4$

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 8 2021

$\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a^4}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^9.\left(b^3+c^2\right)}{8\left(b^3+c^2\right)}}=\dfrac{3a^3}{2}$

Tương tự và cộng lại:

$\Rightarrow M-\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}+\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\ge\dfrac{3}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)$

$\Rightarrow M\ge\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}+\dfrac{5}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{3}{4}$

Mặt khác ta có:

$\dfrac{1}{2}\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\dfrac{1}{6}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\dfrac{3}{2}$

$\left(a^3+a^3+1\right)+\left(b^3+b^3+1\right)+\left(c^3+c^3+1\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9$

$\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge9\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3$

$\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}=...$

Đúng(1)

NT

Nguyễn Thị Hoài Thươơng

25 tháng 6 2015 - olm

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất

$\frac{a^5}{\left(b^3+c^2\right)}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4$

#Toán lớp 8

0

VN

VUX NA

21 tháng 8 2021

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn 2a + 3b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = $\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b$

#Toán lớp 9

1

LL

Lấp La Lấp Lánh

21 tháng 8 2021

$Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)$

$=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương:

$\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}+8008\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008}=8008\\\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=4034\end{matrix}\right.$

Ta có: $2a+3b=4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)=-4\Leftrightarrow-2506\left(2a+3b\right)=-10024$

$\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018$

$ĐTXR\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.$

Đúng(1)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP