Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x++z-4=0$, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x-6y-6z+18=0$  và điểm $M\left(1;1;2\right)\in \left(\alpha \right)$. Đường thẳng d đi qua M và nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho dây cung AB có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

A. $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(2;-1;-1\right)$

B.  $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(1;1;-2\right)$

C.  $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(1;-2;1\right)$

D.  $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(0;1;-1\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm I(4;3;3) và bán kính R = 4. Gọi I’ là hình chiếu của I trên mặt phẳng α .

Đường thẳng I I ' đi qua I(4;3;3) và nhận n = ⇀ 1 ; 1 ; 1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

 

Tọa độ điểm I’ thỏa mãn hệ

 

⇔ t = - 2 . Suy ra I’(2;1;1).

Gọi hình tròn (C) bán kính r là thiết diện của khối cầu (S) khi cắt bởi mặt phẳng  α . Khi đó I’ là tâm của đường tròn (C).

Ta có I M = 14 < 4 = R  và M ∈ α  nên điểm M thuộc miền trong của đường tròn (C) (M nằm trong hình trong hình tròn).

Do đường thẳng d ⊂ α , d đi qua M và d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B nên d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B.

Phương tích của điểm M với đường tròn (C): M A . M B = r 2 - I ' M 2 .

Do r không đổi nên r 2 - I ' M 2 không đổi ⇒ M A . M B  không đổi.

Lại có

Dấu “=” xảy ra khi MA = MB hay A B ⊥ M I ' .

Mà  A B ⊥ M I ' nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là   u ⇀ = I I ' ; ⇀ M I ' ⇀ = 2 ; - 4 ; 2 (cùng phương với vectơ u 2 ⇀ )