Question

[Pham Trong Bach]

Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $y=f\left(x\right)=-x^2+4x-2$ trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

A.  $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng  $\left(-\infty ;2\right)$ và nghịch biến trên khoảng  $\left(2;+\infty \right)$

B.  $f\left(x\right)$ đồng biến trên cả hai khoảng  $\left(-\infty ;2\right)$ và  $\left(2;+\infty \right)$

C.  $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng  $\left(-\infty ;2\right)$ và đồng biến trên khoảng  $\left(2;+\infty \right)$

D.  $f\left(x\right)$ nghịch biến trên cả hai khoảng  $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

 Với x 1 ≠ x 2  ta có:

f x 2 - f x 1 x 2 - x 1 = - x 2 2 + 4 x 2 - 2 - - x 1 2 + 4 x 1 - 2 x 2 - x 1 = - x 2 2 - x 1 2 + 4 ( x 2 - x 1 ) x 2 - x 1 = - x 2 + x 1 + 4 .

·     Với  x 1 , x 2 ∈ - ∞ ; 2  thì x₁ < 2; x₂ <2 nên  x 1 + x 2 < 4 ⇒ - x 1 + x 2 + 4 > 0 nên f(x) đồng biến trên khoảng  - ∞ ; 2 .

·         ·     Với  x 1 , x 2 ∈ 2 ; + ∞  thì x₁>2; x₂ >2 nên  x 1 + x 2 > 4 ⇒ - x 1 + x 2 + 4 < 0 nên f(x) nghịch biến trên khoảng   2 ; + ∞ .

Vậy đáp án là A.

Nhận xét: Với 4 phương án trả lời cho ta biết f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng  - ∞ ; 2  và  2 ; + ∞ .

 Vì vậy, ta lấy hai giá trị bất kì x 1 < x 2  thuộc mỗi khoảng rồi so sánh  f x 1  và  f x 2 . Chẳng hạn x 1 = 0 ; x 2 = 1 có f 0 = - 2 ; f 1 = 1 nên f 0 < f 1 , suy ra f(x) đồng biến trên khoảng  - ∞ ; 2 .