chứng minh rằng với n chẵn thì A= n/12 +n2/8 + n3/24 là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
27 tháng 9 2017
\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n^3+2n^2+n^2+2n}{24}=\frac{n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)}{24}\)
\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Do n chẵn nên n=2k (k nguyên) => n+2=2k+2=2(k+1) => n(n+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1)
k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất 1 số chẵn nên k(k+1) chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8
=>n(n+2) chia hết cho 8=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)
Mặt khác n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh trên mạng nhé)
=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) và (3;8)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.8=24
=>\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\) nguyên => đpcm
PT
1
NK
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2021
\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)
\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)
\(=5n^2+5n+10\)
\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\) (đpcm)
NK
1
20 tháng 12 2017
P= (2n+3n2+n3)/24
P=n(n+1)(n+2)/24 chia hết cho 3
thay n=2k(k là số tự nhiên) suy ra n(n+2)=2k(2k+2) chia hết cho 8
mà (3,8)=1
nên ta có đpcm
H
1
D
24 tháng 7 2017
ta cóA=\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}\)=\(\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n\left(n^2+3n+2\right)}{24}\)=\(\frac{n\left(n^2+n+2n+2\right)}{24}=\frac{n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]}{24}\)
=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
n là số chẵn=> n có dạng 2k
ta có: A=\(\frac{2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{24}=\frac{8k^3+12k^2+4k}{24}\)
=\(\frac{2k^3+3k^2+k}{12}=\frac{2k^3+2k^2+k^2+k}{12}=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{12}\)
ta có tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 12=> A nguyên với mọi n là số chẵn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
a.
Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8
b.
n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6
\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48
K
0
NN
1
25 tháng 5 2015
Vì n chẵn nên n có dạng n = 2k (k thuộc Z)
\(A=\frac{2.k}{12}+\frac{4.k^2}{8}+\frac{8k^3}{24}=\frac{k}{6}+\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{3}=\frac{k}{6}+\frac{3.k^2}{6}+\frac{2.k^3}{6}=\frac{2.k^3+3.k^2+k}{6}\)
\(=\frac{k\left(2k^2+3k+1\right)}{6}=\frac{k\left[2k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\right]}{6}=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}=\frac{k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)+\left(k-1\right)\right]}{6}\)
\(=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\frac{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}{6}\)
nhận xét k; k+1; k+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6 => \(\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\)nguyên
tương tự: k-1; k; k+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6=> \(\frac{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}{6}\)nguyên
vậy A nguyên
A=a^3/24+a^2/8+a/12
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z)
TH1: a=4k; a+2=4k+2
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z)
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên
1) Đặt a=2k vì a chẵn
=>A = k^3/3+k^2/2+k/6 = (2k^3+3k^2+k)/6
= (2(k-1)k(k+1) + 3k(k+1))/6
=(k-1)k(k+1)/3 + k(k+1)/2
(k-1)k(k+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 =>(k-1)k(k+1)/3 nguyên
k(k+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 =>k(k+1)/2 nguyên
=>A nguyên