Cho (P) : y = \(^{x^2-2x+3.}\)Tìm y để (P') : y = \(x^2+2mx+1-m\)cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ \(x_1\),\(x_2\)sao cho \(x_1,x_2\)= 4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2-2x+4=2mx-m^2\)
=>\(x^2-2x+4-2mx+m^2=0\)
=>\(x^2-x\left(2m+2\right)+m^2+4=0\)
\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m^2-16=8m-12\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>8m-12>0
=>8m>12
=>\(m>\dfrac{3}{2}\)
Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m-2\right)}{1}=2m+2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4}{1}=m^2+4\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)
=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=3m^2+12+4\)
=>\(x_1^2+x_1\cdot x_2+x_2^2=3x_1x_2+4\)
=>\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4\)
=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=4\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)
=>\(\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)=4\)
=>\(4m^2+8m+4-4m^2-16=4\)
=>8m-12=4
=>8m=16
=>m=2(nhận)
a: Khi m=-2 thì y=-2x+1-(-2)=-2x+1+2=-2x+3
PTHĐGĐ là:
x^2+2x-3=0
=>(x+3)(x-1)=0
=>x=-3 hoặc x=1
=>y=9 hoặc y=1
b: PTHĐGĐ là:
x^2+2x+m-1=0
\(\Delta=2^2-4\left(m-1\right)=4-4m+4=-4m+8\)
Để phương trình có hai nghiệm thì -4m+8>=0
=>m<=2
x1^2+x2^2=x1*x2+8
=>(x1+x2)^2-2x1x2-x1x2=8
=>(-2)^2-3(m-1)=8
=>4-3m+3=8
=>7-3m=8
=>3m=-1
=>m=-1/3
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\left(1\right)\)
Ta có:
\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25>0\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Vi-et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25\)
\(\Rightarrow\left|x_1-x_2\right|=5\)
Lại có:
\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)=3m^2+3m+7\)
Khi đó \(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\)
\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2\right)=50\)
\(\Leftrightarrow5\left(3m^2+3m+7\right)=50\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
a: Khi m=-5 thì y=2(-5+1)x-(-5)+4
=>y=-8x+9
PTHĐGĐ là:
x^2+8x-9=0
=>(x+9)(x-1)=0
=>x=1 hoặc x=-9
=>y=1 hoặc y=81
b: \(A=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)}\)
\(=\sqrt{4m^2+8m+4-4m+16}\)
\(=\sqrt{4m^2+4m+20}\)
\(=\sqrt{\left(2m+1\right)^2+19}>=\sqrt{19}\)
Dấu = xảy ra khi m=-1/2
- Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d'):
\(-x^2=mx-4\Leftrightarrow x^2+mx-4=0\left(1\right)\)
\(a=1;b=m;c=-4\)
\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4.\left(1\right).\left(-4\right)=m^2+16>0\)
Vì \(\Delta>0\) nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2.
Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{m}{1}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{1}=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=18\)
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=18\)
\(\Rightarrow\left(-m\right)^2-2.\left(-4\right)-\left(-m\right)-18=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-12=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy m=4 hay m=-3.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\left(2m-1\right)x^2=2\left(m+4\right)x-5m-2\)
=>\(\left(2m-1\right)x^2-\left(2m+8\right)x+5m+2=0\)
Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì
\(\left\{{}\begin{matrix}2m-1\ne0\\\text{Δ}>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\\left(2m+8\right)^2-4\left(2m-1\right)\left(5m+2\right)>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\4m^2+32m+64-4\left(10m^2+4m-5m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\4m^2+32m+64-40m^2+4m+8>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\-36m^2+36m+72>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\m^2-m-2< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\\left(m-2\right)\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\-1< m< 2\end{matrix}\right.\)
Theo vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-2m-8\right)}{2m-1}=\dfrac{2m+8}{2m-1}\\x_1x_2=\dfrac{5m+2}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x^2_2=2x_1x_2+16\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=16\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16\)
=>\(\left(\dfrac{2m+8}{2m-1}\right)^2-4\cdot\dfrac{5m+2}{2m-1}=16\)
=>\(\dfrac{\left(2m+8\right)^2-4\left(5m+2\right)\left(2m-1\right)}{\left(2m-1\right)^2}=16\)
=>\(\dfrac{4m^2+32m+64-4\left(10m^2-m-2\right)}{\left(2m-1\right)^2}=16\)
=>\(-36m^2+36m+72=16\left(4m^2-4m+1\right)\)
=>\(-36m^2+36m+72=64m^2-64m+16\)
=>\(-100m^2+100m+56=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{7}{5}\left(nhận\right)\\m=-\dfrac{2}{5}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
$x^2-(2x+2m-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2x+(1-2m)=0(*)$
Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì pt $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=1-(1-2m)=2m>0\Leftrightarrow m>0$
Theo định lý Viet:
$x_1+x_2=2$
$x_1x_2=1-2m$
Khi đó:
$x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$
$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8$
$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8$
$\Leftrightarrow 2(1-2m)^2-[2^2-2(1-2m)]=8$
$\Leftrightarrow 8m^2-12m=8$
$\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0$
$\Leftrightarrow (m-2)(2m+1)=0$
$\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{-1}{2}$
Vì $m>0$ nên $m=2$