Question

[Bùi Thị Huyền]

cho điểm M(2;1) và 2 điểm A(a,0),B(0,b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng.Xác định tọa độ của A,B sao cho a,diện tích tam giác OAB nhỏ nhất b,OA+OB nhỏ nhất Thanks ạ....mong mọi người giúp để trưa nay mình ổn định tâm lí còn ăn ngon ngủ khỏe :)))

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)\) ; \(\overrightarrow{MA}=\left(a-2;-1\right)\)

ABM thẳng hàng \(\Rightarrow b\left(a-2\right)=a\Rightarrow b=\frac{a}{a-2}\)

Do \(b>0\Rightarrow a>2\)

a/ \(S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}.\frac{a^2}{a-2}=\frac{1}{2}\left(a-2+\frac{4}{a-2}+4\right)\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{4\left(a-2\right)}{a-2}}+2\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-2\right)^2=4\Rightarrow a=4\Rightarrow b=2\)

\(\Rightarrow A\left(4;0\right);B\left(0;2\right)\)

b/ \(OA+OB=a+b=a+\frac{a}{a-2}=a+1+\frac{2}{a-2}\)

\(=a-2+\frac{2}{a-2}+3\ge2\sqrt{\frac{2\left(a-2\right)}{a-2}}+3=3+2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-2\right)^2=2\Leftrightarrow a=2+\sqrt{2}\Rightarrow b=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\left(2+\sqrt{2};0\right);B\left(0;1+\sqrt{2}\right)\)