cho x+y+z =3
C/m \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)>= 3/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KB
27 tháng 4 2019
Theo GT : \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=3\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
\(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x\left(x^2+z\right)}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
Tương tự , ta có : \(\frac{y^3}{y^2+x}\ge y-\frac{\sqrt{x}}{2}\) ; \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{\sqrt{y}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\)
Vì x ; y ; z dương , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(x+1\ge2\sqrt{x};y+1\ge2\sqrt{y};z+1\ge2\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
=> \(\frac{x+y+z+3}{2}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) => BĐT được c/m
Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có :
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{9}{3}=3\) => BĐT được c/m
Có : \(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{2}\ge\frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy ...
PT
9 tháng 7 2020
áp dụng bđt Cô -si: x+y+z\(\ge3\sqrt[3]{xyz}\) với 3 số x,y,z không âm
ta có: \(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}\)(1)
tương tự: \(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\) (2)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)(3)
cộng (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge3.\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{9}{2}-\frac{3}{2}-\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{16\left(x+y+z\right)^2}+\frac{1215}{16\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{81\left(x+y+z\right)^2}{16\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{1215}{16.\left(\frac{3}{2}\right)^2}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(z=y=z=\frac{1}{2}\)
HV
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 10 2020
\(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{1}{2}xy\)
Tương tự: \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{1}{2}yz\) ; \(\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{1}{2}zx\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge x+y+z-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AT
2 tháng 12 2019
áp dụng bđt cosi có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2\ge2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2zx\sqrt{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{z}}{2zx\sqrt{z}}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
Ta cần cm: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\le0\)(sai)
=> đề sai
18 tháng 6 2019
Áp dụng bđt Mincopxki \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) ta được
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
Áp dụng bđt Cô-si có
\(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge9\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}+\frac{9}{\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=t\)
\(\Rightarrow0\le t=\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Khi đó \(VT\ge\sqrt{9t+\frac{9}{t}}=\sqrt{3\left(48t+\frac{3}{t}-45t\right)}\ge\sqrt{3\left(2.\sqrt{3.48}-\frac{45}{4}\right)}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Ta có: \(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\left(2\right);\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(VT\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\left(x+y+z\right)-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
bài này thêm đk x,y,z dương