Cho x,y thỏa mãn \(x^2+y^2-4x-2=0\) Chứng minh: \(10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
2 tháng 4 2019
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
ML
12 tháng 5 2016
\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)
\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)
\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)
\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)
Bất đẳng thức trên đúng vì :
\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)
Vậy \(A\ge2\)
Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)
ML
12 tháng 5 2016
Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)
\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)
\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)
\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)
BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)
Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)
Làm tương tự với vế còn lại.
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 5 2021
Đề bài sai, sửa đề: \(2\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\le\sqrt{6}\)
Đặt \(P=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}>0\)
\(\Rightarrow P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}\ge x^2+y^2+xy+2\sqrt{2xy.xy}\)
\(\Rightarrow P^2\ge x^2+y^2+\left(2\sqrt{2}+1\right)xy\ge x^2+y^2+2xy=4\)
\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)
Lại có: \(P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}=x^2+y^2+xy+\sqrt{4xy.\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow P^2\le x^2+y^2+xy+\dfrac{1}{2}\left(4xy+x^2+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2=6\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3};\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\)
TN
15 tháng 1 2018
C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:
\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)
"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
MH
Chứng minh rằng tồn tại một cặp số duy nhất (x, y) thỏa mãn phương trình:
\(x^2-4x+y-6\sqrt{y}+13=0\)
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2021
Đề bài sai
Chỉ tồn tại duy nhất cặp x;y thỏa mãn pt khi đề bài là:
\(x^2-4x+y-6\sqrt{y}+13=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2021
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y-6\sqrt{y}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\\sqrt{y}-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=9\end{matrix}\right.\)
Vậy có duy nhất cặp số (x;y)=(2;9) thỏa mãn phương trình
Phương trình tương đương với \(x^2+y^2=4x+2\left(1\right)\)
Ta có: \(x^2-4x-2=-y^2\le0\Rightarrow\left(x-\sqrt{6}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 \(\Rightarrow10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\)
Nhận xét: bài toán áp dụng biến đổi tương đương 1 pt, giả bpt bậc 2.
* Biến đổi tương đương 1 pt:
\(x^2+y^2-4x-2=0\Leftrightarrow x^2+y^2=4x+2\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-2=-y^2\left(2\right)\)
* BĐT:
Ta có: \(y^2\ge0\Leftrightarrow-y^2\le0\)kết hợp với (2) ta có: \(x^2-4x-2\le0\)
* giải bpt bậc 2:
\(x^2-4x-2\le0\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{6}-2\right)\left(x+\sqrt{6}-2\right)\le0\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\)
* Biến đổi tương đương bpt:
\(2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\)
Kết hợp với (1) ta có \(10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\left(\text{đ}pcm\right)\)