Question

[Khuất Thảo Ngân]

1.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy là a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là anpha.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó

2.Cho hình chóp SABC có SA vuông(ABC),H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC.

a.CM:5 điểm A,B,C,H,K cùng thuộc 1 mặt cầu

b.Tính thể tích khối cầu nói trên khi AB=2,AC=3,góc BAC=60 độ

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm AB và N là trung điểm SB

\(SO=OM.tan\alpha=\frac{a.tan\alpha}{2}\)

Trong mặt phẳng (SBD), qua N kẻ trung trực SB cắt SO tại I

\(\Rightarrow\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

\(SB^2=\sqrt{OB^2+SO^2}=\frac{2a^2+a^2.tan^2\alpha}{4}\)

Hai tam giác vuông BOS và INS đồng dạng \(\Rightarrow\frac{SI}{SB}=\frac{SN}{SO}\Rightarrow R=SI=\frac{SB.SN}{SO}=\frac{SB^2}{2SO}=\frac{2a+a.tan^2\alpha}{4tan\alpha}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

2.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB, AC \(\Rightarrow\) M và N lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông ABH và ACK

Trong mặt phẳng (ABC), qua M và N lần lượt kẻ trung trực của AB và AC, chúng cắt nhau tại I

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IN\perp\left(ACK\right)\\IM\perp\left(ABH\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IA=IB=IC=IH=IK\)

Hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp đa diện A,B,C,H,K

Hay 5 điểm A,B,C,H,K cùng thuộc 1 mặt cầu

b. Bán kính mặt cầu đã cho bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB.AC.cos60^0}=\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow R=\frac{AB.BC.CA}{4S_{ABC}}=\frac{AB.BC.CA}{4.\frac{1}{2}.AB.AC.sin60^0}=\frac{\sqrt{21}}{3}\)