cho a b c dương thỏa mãn 2(a+b+c+d)>=abcd chứng minh a^2+b^2+c^2+d^2>=abcd
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 9 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\)(AM-GM) (abcd=1)
Lại có: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\)
\(=ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\)
\(\ge8\sqrt[8]{\left(abcd\right)^4}=8\)(AM-GM)
Từ đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\ge4+8=12\)
=> ĐPCM. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=1.
VN
16 tháng 5 2022
Xét : \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)\)
\(=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)
Vì \(a\) là số nguyên dương nên \(a,\left(a-1\right)\) là hai số tự nhiên liên tiếp .
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\) chia hết cho 2. Tương tự ta có : \(b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)\) đều chia hết cho 2.
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) là số chẵn .
Lại có : \(a^2+c^2=b^2+d^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)\) là số chẵn .
Do đó : \(a+b+c+d\) là số chẵn mà \(a+b+c+d>2\) (Do \(a,b,c,d\inℕ^∗\))
Vậy : \(a+b+c+d\) là hợp số .
MN
29 tháng 3
Xét :
Vì là số nguyên dương nên là hai số tự nhiên liên tiếp .
chia hết cho 2. Tương tự ta có : đều chia hết cho 2.
là số chẵn .
Lại có : là số chẵn .
Do đó : là số chẵn mà (Do )
Vậy : là hợp số .
KN
5 tháng 9 2020
Theo giả thiết \(a^2+b^2+c^2+d^2=1\Rightarrow0< a,b,c,d< 1\)
Ta có: \(2\left(1-a\right)\left(1-b\right)=2-2\left(a+b\right)+2ab=a^2+b^2+c^2+d^2+1\)\(-2a-2b+2ab-2cd+2cd=\left(a+b-1\right)^2+\left(c-d\right)^2+2cd\ge2cd\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge cd\)(*)
Tương tự ta có: \(\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge ab\)(**)
Nhân theo từng vế cùng chiều của hai BĐT (*) và (**), ta được: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge abcd\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
KD
0
7 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Áp dụng tương tự ta được
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2};\frac{d}{1+a^2}\ge c-\frac{da}{2}\)
Tương tự ta cũng được
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8}=2\)
Do vậy ta được \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1