Question

[nguyen thao]

Giải giúp mik bài này vs . Sáng mai cần gấp. Cảm ơn mn

1/ Tính giá trị các biểu thức

a) \(5\sqrt{12}-\sqrt{45}-3\sqrt{48}+\sqrt{75}\)

b) \(\left(1+\frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\right)\left(\frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}+1\right)\)

2/ Cho biểu thức P= x-\(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{x-4}{\sqrt{4x}}\) với x>0 ; x\(\ne\) 4

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x= 7-\(\sqrt{48}\)

c) Tính GTNN của biểu thức P

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a) Ta có: \(5\sqrt{12}-\sqrt{45}-3\sqrt{48}+\sqrt{75}\)

\(=5\cdot2\cdot\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}-3\cdot\sqrt{3}\cdot4+5\sqrt{3}\)

\(=10\sqrt{3}-3\sqrt{5}-12\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)

\(=3\sqrt{3}-3\sqrt{5}\)

b) Ta có: \(\left(1+\frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\right)\left(\frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}+1\right)\)

\(=\left(\frac{1-\sqrt{5}+5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{5}+1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)\)

\(=\frac{6-2\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\cdot\frac{6+2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\)

\(=\frac{6^2-\left(2\sqrt{5}\right)^2}{1^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}=\frac{36-20}{1-5}=\frac{16}{-4}=-4\)

2)

a) Ta có: \(P=x-\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\right)\cdot\frac{x-4}{\sqrt{4x}}\)

\(=x-\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\sqrt{x}}\)

\(=x-\frac{x+2\sqrt{x}+x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\sqrt{x}}\)

\(=x-\frac{2x}{2\sqrt{x}}\)

\(=x-\sqrt{x}\)

b) Ta có: \(x=7-\sqrt{48}\)

\(=\frac{14-2\sqrt{48}}{2}=\frac{8-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}+6}{2}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^2}{2}=\frac{\left[\sqrt{2}\cdot\left(2-\sqrt{3}\right)\right]^2}{2}\)

\(=\frac{2\cdot\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{2}=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\)

Thay \(x=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\) vào biểu thức \(P=x-\sqrt{x}\), ta được:

\(P=\left(2-\sqrt{3}\right)^2-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=7-4\sqrt{3}-\left|2-\sqrt{3}\right|\)

\(=7-4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)\)(Vì \(2>\sqrt{3}\))

\(=7-4\sqrt{3}-2+\sqrt{3}\)

\(=5-3\sqrt{3}\)

c) Ta có: \(P=x-\sqrt{x}\)

\(=x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\)

hay \(x=\frac{1}{4}\)(nhận)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x-\sqrt{x}\) là \(-\frac{1}{4}\) khi \(x=\frac{1}{4}\)