Cho tam giác MNP cân tại M.Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với MN, từ P kẻ đường thẳng vuông góc với MP.Chúng cắt nhau tị K.Chứng minh rằng
a.KM là phân giác của PKN
b.MK là đường trung trực của NP
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HB
21 tháng 2 2021
a) Gọi G, F lần lượt là chân đường vuông góc từ O kẻ xuống AB và AC
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AB(gt)
mà OG⊥AB(gt)
nên G là trung điểm của AB
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AC(gt)
mà OF⊥AC(gt)
nên F là trung điểm của AC
Ta có: AG=AB2AG=AB2(G là trung điểm của AB)
AF=AC2AF=AC2(F là trung điểm của AC)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AG=AF
Xét ΔAGO vuông tại G và ΔAFO vuông tại F có
AO chung
AG=AF(cmt)
Do đó: ΔAGO=ΔAFO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: ˆGAO=ˆFAOGAO^=FAO^(hai góc tương ứng)
hay ˆBAO=ˆCAOBAO^=CAO^
mà tia AO nằm giữa hai tia AB,AC
nên AO là tia phân giác của ˆBACBAC^(đpcm)
c) Xét ΔAOB và ΔAOC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
ˆBAO=ˆCAOBAO^=CAO^(cmt)
AO chung
Do đó: ΔAOB=ΔAOC(c-g-c)
Suy ra: OB=OC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ˆABC+ˆKBC=ˆABKABC^+KBC^=ABK^(tia BC nằm giữa hai tia BA,BK)
nên ˆABC+ˆKBC=900ABC^+KBC^=900(1)
Ta có: ˆACB+ˆKCB=ˆACKACB^+KCB^=ACK^(tia CB nằm giữa hai tia CA,CK)
nên ˆACB+ˆKCB=900ACB^+KCB^=900(2)
Từ (1) và (2) suy ra ˆABC+ˆKBC=ˆACB+ˆKCBABC^+KBC^=ACB^+KCB^
mà ˆABC=ˆACBABC^=ACB^(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên ˆKBC=ˆKCBKBC^=KCB^
Xét ΔKBC có ˆKBC=ˆKCBKBC^=KCB^(cmt)
nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: KB=KC(hai cạnh bên)
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCDB vuông tại D có
BC chung
ˆEBC=ˆDCBEBC^=DCB^(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔBEC=ΔCDB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: ˆBCE=ˆCBDBCE^=CBD^(hai góc tương ứng)
hay ˆHBC=ˆHCBHBC^=HCB^
Xét ΔHBC có ˆHBC=ˆHCBHBC^=HCB^(cmt)
nên ΔHBC cân tại H(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: HB=HC(hai cạnh bên)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OB=OC(cmt)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: HB=HC(cmt)
nên H nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: KB=KC(cmt)
nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra A,O,H,K thẳng hàng(đpcm)
9 tháng 4 2021
a) Xét ΔBNP có
BA là đường trung trực ứng với cạnh PN(gt)
nên ΔBNP cân tại B(Định lí tam giác cân)
9 tháng 4 2021
b) Xét ΔMBN vuông tại M và ΔCBP vuông tại C có
BN=BP(cmt)
\(\widehat{MBN}=\widehat{CBP}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMBN=ΔCBP(cạnh huyền-góc nhọn)
17 tháng 4 2023
a: ΔMNP cân tại M
mà MH là đường cao
nên H là trung điểm của NP
b: NH=PH=2cm
=>\(MH=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}\simeq4,6\left(cm\right)\)
c: Xét ΔMNI và ΔMPI có
MN=MP
góc NMI=góc PMI
MI chung
=>ΔMNI=ΔMPI
TT
23 tháng 6 2020
a) xét \(\Delta MNP\)VUÔNG TẠI M CÓ
\(\Rightarrow NP^2=MN^2+MP^2\left(PYTAGO\right)\)
THAY\(NP^2=4^2+3^2\)
\(NP^2=16+9\)
\(NP^2=25\)
\(\Rightarrow NP=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)
XÉT \(\Delta MNP\)CÓ
\(\Rightarrow NP>MN>MP\left(5>4>3\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{M}>\widehat{P}>\widehat{N}\)( QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN)
B) xét \(\Delta\text{ CPM}\)VÀ\(\Delta\text{CPA}\)CÓ
\(PM=PA\left(GT\right)\)
\(\widehat{MPC}=\widehat{APC}=90^o\)
PC LÀ CAH CHUNG
=>\(\Delta\text{ CPM}\)=\(\Delta\text{CPA}\)(C-G-C)
TT
23 tháng 6 2020
c)
\(\Delta CPM=\Delta CPA\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CMP}=\widehat{CPA}\left(\text{hai góc tương ứng}\right)\)
\(\text{Ta có: }\)\(\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=90^o\left(\Delta MNA\perp\text{ tại M}\right)\)
\(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=\)\(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}\)
\(\Rightarrow\widehat{MNA}=\widehat{NMC}\left(\widehat{CMP}=\widehat{NAM}\right)\)
\(Hay:\)\(\widehat{MNC}=\widehat{NMC}\)
\(\Rightarrow\Delta NMC\text{ cân}\)
\(\Rightarrow CN=CM\left(đpcm\right)\)
20 tháng 2 2021
a) Gọi G, F lần lượt là chân đường vuông góc từ O kẻ xuống AB và AC
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AB(gt)
mà OG⊥AB(gt)
nên G là trung điểm của AB
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AC(gt)
mà OF⊥AC(gt)
nên F là trung điểm của AC
Ta có: \(AG=\dfrac{AB}{2}\)(G là trung điểm của AB)
\(AF=\dfrac{AC}{2}\)(F là trung điểm của AC)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AG=AF
Xét ΔAGO vuông tại G và ΔAFO vuông tại F có
AO chung
AG=AF(cmt)
Do đó: ΔAGO=ΔAFO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat{GAO}=\widehat{FAO}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)
mà tia AO nằm giữa hai tia AB,AC
nên AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
c) Xét ΔAOB và ΔAOC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(cmt)
AO chung
Do đó: ΔAOB=ΔAOC(c-g-c)
Suy ra: OB=OC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{KBC}=\widehat{ABK}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BK)
nên \(\widehat{ABC}+\widehat{KBC}=90^0\)(1)
Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{KCB}=\widehat{ACK}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CK)
nên \(\widehat{ACB}+\widehat{KCB}=90^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}+\widehat{KBC}=\widehat{ACB}+\widehat{KCB}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)
Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)
nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: KB=KC(hai cạnh bên)
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCDB vuông tại D có
BC chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔBEC=ΔCDB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: \(\widehat{BCE}=\widehat{CBD}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)
Xét ΔHBC có \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)(cmt)
nên ΔHBC cân tại H(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: HB=HC(hai cạnh bên)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OB=OC(cmt)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: HB=HC(cmt)
nên H nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: KB=KC(cmt)
nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra A,O,H,K thẳng hàng(đpcm)
5 tháng 1 2018
1.Vì các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I
\(\Rightarrow\)I là giao của các đường phân giác trong tam giác
\(\Rightarrow\)AI là tia phân giác của góc A
A
20 tháng 6 2019
1.
Kẻ: \(ID\perp AB;IE\perp BC;IF\perp AC\)
\(\widehat{IDB}=\widehat{IEB}=90^0\)
\(\widehat{DBI}=\widehat{EIB}\left(gt\right)\)
BI cạnh huyền chung
⇒ ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;
\(\widehat{IEC}=\widehat{IFC}=90^0\)
\(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\left(gt\right)\)
CI canh huyền chung
Suy ra: ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF
Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:
\(\widehat{IDA}=\widehat{IFA}=90^0\)
ID = IF (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra\(\widehat{DAI}=\widehat{FAI}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
LT
9 tháng 4 2017
a) xét tam giác MHN và tam giác MHP có
\(\widehat{MHN}\) = \(\widehat{MHP}\)(= 90 ĐỘ)
MN = MP ( tam giác MNP cân tại M)
MH chung
=> tam giác MHN = tam giác MHP (cạnh huyền cạnh góc vuông)
b) vì tam giác MHN = tam giác MHP (câu a)
=> \(\widehat{M1}\)= \(\widehat{M2}\)(2 góc tương ứng)
=> MH là tia phân giác của \(\widehat{NMP}\)
VL
9 tháng 4 2017
bạn tự vẽ hình nhé
a.
vì tam giác MNP cân tại M=> MN=MP và \(\widehat{N}\)=\(\widehat{P}\)
Xét tam giác MHN và tam giác MHP
có: MN-MP(CMT)
\(\widehat{N}\)=\(\widehat{P}\)(CMT)
MH là cạnh chung
\(\widehat{MHN}\)=\(\widehat{MHP}\)=\(^{90^0}\)
=> Tam giác MHN= Tam giác MHP(ch-gn)
=> \(\widehat{NMH}\)=\(\widehat{PMH}\)(2 GÓC TƯƠNG ỨNG) (1)
và NH=PH( 2 cạnh tương ứng)
mà H THUỘC NP=> NH=PH=1/2NP (3)
b. Vì H năm giữa N,P
=> MH nằm giữa MN và MP (2)
Từ (1) (2)=> MH là tia phân giác của góc NMP
c. Từ (3)=> NH=PH=1/2.12=6(cm)
Xét tam giác MNH có Góc H=90 độ
=>\(MN^2=NH^2+MH^2\)( ĐL Py-ta-go)
hay \(10^2=6^2+MH^2\)
=>\(MH^2=10^2-6^2\)
\(MH^2=64\)
=>MH=8(cm)
a) Xét 2 tam giác vuông ΔMNK và ΔMPK ta có:
Cạnh huyền MK chung
MN = MP (GT)
=> ΔMNK = ΔMPK (c.h - c.g.v)
\(\Rightarrow\widehat{NKM}=\widehat{PKM}\) (2 góc tương ứng)
=> MK là phân giác của góc PKN
b) Ta có: ΔMNK = ΔMPK (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{NMK}=\widehat{PMK}\) (2 góc tương ứng)
=> MK là phân giác của góc NMP
ΔMNP cân tại M có: MK là phân giác của góc NMP
=> MK là đường trung trực của ΔMNP
Hay: MK là đường trung trực của NP
Thanks bạn!!!