Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta\)EHB đồng dạng\(\Delta\)DHC
b) \(\Delta\)HED đồng dạng\(\Delta\)HBC
c) \(\Delta\)ADE đồng dạng\(\Delta\)ABC
d) BD.BH+CH.CE=BC\(^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2020
a) Xét ΔEHB vuông tại E và ΔDHC vuông tại D có
\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEHB∼ΔDHC(góc nhọn)
b) Ta có: ΔEHB∼ΔDHC(cmt)
\(\Leftrightarrow\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)
Xét ΔHED và ΔHBC có
\(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)(cmt)
\(\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHED∼ΔHBC(c-g-c)
c) Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
\(\widehat{DAB}\) chung
Do đó: ΔADB∼ΔAEC(g-g)
\(\Leftrightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
Xét ΔADE và ΔABC có
\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(cmt)
\(\widehat{DAE}\) chung
Do đó: ΔADE∼ΔABC(c-g-c)
d) Gọi K là giao điểm của AH và BC
Xét ΔABC có
BD là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
CE là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
BD\(\cap\)CE={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)
⇔AH⊥BC
⇔AK⊥BC(AH\(\cap\)BC={K})
Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có
\(\widehat{DBC}\) chung
Do đó: ΔBKH∼ΔBDC(góc nhọn)
\(\Leftrightarrow\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(BK\cdot BC=BH\cdot BD\)
Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có
\(\widehat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCKH∼ΔCEB(g-g)
\(\Leftrightarrow\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(CK\cdot CB=CE\cdot CH\)
Ta có: \(BD\cdot BH+CE\cdot CH=BK\cdot BC+CK\cdot BC\)
\(=BC\cdot\left(BK+CK\right)=BC\cdot BC=BC^2\)(đpcm)
12 tháng 8 2020
Hình tự vẽ nha:))
a) Xét ΔEHB và ΔDHC có:
∠BEH=∠CDH=90o
∠EHB=∠DHC(đối đỉnh)
Do đó, ΔEHB∼ΔDHC (gg).
b) Xét ΔHED và HBC có:
\(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)(ΔEHB∼ΔDHC)
∠DHE=∠BHC (đđ)
Do đó,ΔHED∼ΔHBC(cgc)
c) Xét ΔADB và ΔAEC có:
∠A chung
∠ADB=∠AEC=90o
Do đó, ΔADB∼ΔAEC(gg)
Xét ΔAED và ΔABC có:
∠A chung
\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(ΔADB∼ΔAEC)
Do đó, ΔAED∼ΔABC(cgc)
d) Vẽ HK⊥BC(K∈BC)
ΔBHK∼ΔBDC(gg)⇒\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)⇔BK.BC=BH.BD
ΔCHK∼ΔCBE(gg)⇒\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)⇔CK.BC=CE.CH
⇒BC(BK+CK)=BH.BD+CE.CH
⇔BC2=BH.BD+CE.CH (đpcm)
NH
26 tháng 2 2023
a)
xét tam giác EHB và tam giác DHC có
góc BEC = góc CDH = 90 độ
góc EHB = góc DHC (hai góc đối đỉnh)
=> tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC (g-g)
b)
vì tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC (cmt)
=> `(HB)/(HC)=(HE)/(HD)` (tính chất)`
=> `HB*HD=HE*HC`
PT
3 tháng 4 2018
a) Xét tam giác AEC và tam giác ABD:
- ∠BAC chung
- ∠ACE = ∠ADB
⇒ △AEC đồng dạng △ABD (g.g)
b) Theo câu a ⇒ \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\)
- ∠BAC chung
=> △ADE đồng dạng △ABC
c) △BEC đồng dạng △BFA(g.g)
=> \(\dfrac{BE}{BF}=\dfrac{BC}{BA}\)
=> AB.BE=BF.BC (1)
△CDB đồng dạng △CFA(g.g)
=> \(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{BC}{AC}\) => CD.AC=CF.BC (2)
Từ (1) và (2) => AB.BE+CD.AC=BF.BC+CF.BC=BC(BF+CF)=BC2.
19 tháng 3 2021
a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔABE∼ΔACF(g-g)
b) Ta có: ΔABE∼ΔACF(cmt)
nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)
c) Ta có: \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(cmt)
nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAEF∼ΔABC(c-g-c)
d) Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDAC vuông tại D có
\(\widehat{DCA}\) chung
Do đó: ΔEBC∼ΔDAC(g-g)
16 tháng 4 2021
3) Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có
\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{FH}{EH}=\dfrac{BH}{CH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\dfrac{FH}{BH}=\dfrac{EH}{CH}\)
Xét ΔFHE và ΔBHC có
\(\dfrac{FH}{BH}=\dfrac{EH}{CH}\)(cmt)
\(\widehat{FHE}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔFHE\(\sim\)ΔBHC(c-g-c)
16 tháng 4 2021
1) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔAEB∼ΔAFC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)(đpcm)
7 tháng 2 2022
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC
b: Xét ΔEHB vuông tại E và ΔDHC vuông tại H có
\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)
Do đó: ΔEHB\(\sim\)ΔDHC
Suy ra: \(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\)
hay \(HE\cdot HC=HB\cdot HD\)
c: Xét tứ giác HBKC có
HB//KC
HC//BK
Do đó: HBKC là hình bình hành
Suy ra: Hai đường chéo HK và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
hay H,M,K thẳng hàng
7 tháng 5 2021
Xin lỗi mấy bạn . Mình bị thiếu chỗ (cho tam giác ABC vuông tại A)
Bài làm:
a) Δ EHB ~ Δ DHC (g.g) vì:
+ \(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\) (đối đỉnh)
+ \(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0\)
=> đpcm
b) Theo phần a, 2 tam giác đồng dạng
=> \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)
Δ HED ~ Δ HBC (c.g.c) vì:
+ \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\) (chứng minh trên)
+ \(\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\) (đối đỉnh)
=> đpcm
c) Δ ABD ~ Δ ACE (g.g) vì:
+ \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\)
+ \(\widehat{A}\) chung
=> \(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)
Δ ADE ~ Δ ABC (c.g.c) vì:
+ \(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\) (chứng minh trên)
+ \(\widehat{A}\) chung
=> đpcm
d) Gọi F là giao của AH với BC
Δ BHF ~ Δ BCD (g.g) vì:
+ \(\widehat{BFH}=\widehat{BDC}=90^0\)
+ \(\widehat{B}\) chung
=> \(\frac{BF}{BH}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow BD.BH=BF.BC\left(1\right)\)
Tương tự ta chứng minh được:
\(CH.CE=FC.BC\left(2\right)\)
Cộng vế (1) và (2) lại ta được:
\(BD.BH+CH.CE=\left(BF+FC\right)BC=BC.BC=BC^2\)
=> đpcm