Tìm \(x,y\in Z\)thỏa mãn phương trình\(\left(y+2\right)x^2+1=y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 11 2018
Có : \(\hept{\begin{cases}2\left(x+y\right)=z^2\Rightarrow2\left(x+y+z\right)+1=z^2+2z+1=\left(z+1\right)^2\\2\left(y+z\right)=x^2\Rightarrow2\left(y+z+x\right)+1=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\\2\left(z+x\right)=y^2\Rightarrow2\left(z+x+y\right)+1=y^2+2y+1=\left(y+1\right)^2\end{cases}}\) mà x,y,z không âm.
\(\Rightarrow x=y=z\) .
Thay vào 3 phương trình trên ta có : \(\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\\x=y=z=4\end{cases}}\)
Vậy........
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 8 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$\text{VT}(1^2+1^2+1^2)\geq (1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y})^2$
$\Leftrightarrow 3\text{VT}\geq (3+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})^2$
$ = \left[3+\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zy+zx}\right]^2$
$\geq \left[3+\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\right]^2$
$\geq \left[3+\frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}\right]^2=\frac{81}{4}$
$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{27}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$
\(\left(y+2\right)x^2+1=y^2\Leftrightarrow\left(y+2\right)x^2=y^2-1\)
Xét y=-2 \(\Rightarrow0=3\)(loại)
Xét \(y\ne-2\)\(\Rightarrow\left(y+2\right)x^2=y^2-1\Leftrightarrow x^2=\frac{y^2-1}{y+2}\),\(\frac{y^2-1}{y+2}=\frac{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}{y+2}=\left(1-\frac{1}{y+2}\right)\left(y-1\right)\)
Để x nguyên thì \(1⋮y+2\Rightarrow\left(y+2\right)\inƯ\left(1\right)\left\{-1;1\right\}\)
Với \(y+2=-1\Leftrightarrow y=-3\Rightarrow x=-8\)
Với \(y+2=1\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=0\)
Tới đây kết luận là xong