Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
\(\frac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\frac{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}+1}{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}-1}=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}\)
b)
\(2(\sin ^6a+\cos ^6a)+1=2(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+1\)
\(=2(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+1\)
\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-(\sin ^4a+\cos ^4a+2\sin ^2a\cos ^2a)+1\)
\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-(\sin ^2a+\cos ^2a)^2+1\)
\(=3(\sin ^4a+\cos ^4a)-1^2+1=3(\sin ^4a+\cos ^4a)\)
c)
\(\frac{\tan a-\tan b}{cot b-\cot a}=\frac{\tan a-\tan b}{\frac{1}{\tan b}-\frac{1}{\tan a}}\) (nhớ rằng \(\tan x.\cot x=1\rightarrow \cot x=\frac{1}{\tan x}\) )
\(=\frac{\tan a-\tan b}{\frac{\tan a-\tan b}{\tan a\tan b}}=\tan a\tan b\)
d)
\((\cot x+\tan x)^2-(\cot x-\tan x)^2=(\cot ^2x+\tan ^2x+2\cot x\tan x)-(\cot ^2x-2\cot x\tan x+\tan ^2x)\)
\(=4\cot x\tan x=4.1=4\)
e)
\(\frac{\sin ^3a+\cos ^3a}{\sin a+\cos a}=\frac{(\sin a+\cos a)(\sin ^2a-\sin a\cos a+\cos ^2a)}{\sin a+\cos a}\)
\(=\sin ^2a-\sin a\cos a+\cos ^2a=(\sin ^2a+\cos ^2a)-\sin a\cos a=1-\sin a\cos a\)
Vậy ta có đpcm.
\(cosa.sina=\frac{1}{5}\Rightarrow\frac{cosa.sina}{sin^2a}=\frac{1}{5sin^2a}=\frac{sin^2a+cos^2a}{5sin^2a}\)
\(\Rightarrow\frac{cosa}{sina}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\frac{cos^2a}{sin^2a}\)
\(\Rightarrow cota=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}cot^2a\)
\(\Rightarrow cot^2a-5cota+1=0\)
\(\Rightarrow cota=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\)
Câu 2:
\(\frac{cosa}{1-sina}=\frac{cosa\left(1+sina\right)}{\left(1-sina\right)\left(1+sina\right)}=\frac{cosa\left(1+sina\right)}{1-sin^2a}=\frac{cosa\left(1+sina\right)}{cos^2a}=\frac{1+sina}{cosa}\)
b/
\(\frac{\left(sina+cosa\right)^2-\left(sina-cosa\right)^2}{sina.cosa}\)
\(=\frac{sin^2a+cos^2a+2sina.cosa-\left(sin^2a+cos^2a-2sina.cosa\right)}{sina.cosa}\)
\(=\frac{4sina.cosa}{sina.cosa}\)
\(=4\)
cái câu 1 kia lạ thật, phần phía trc có ngoặc thì phải nhân vs hạng tử nào đó chứ nhỉ? Và mk tính ra kq là \(-\cos^22\alpha\)
\(VT=\cos^4\alpha+\sin^4\alpha-2\cos^6\alpha-2\sin^6\alpha\)
\(=\sin^4\alpha\left(1-2\sin^2\alpha\right)-\cos^4\alpha\left(2\cos^2\alpha-1\right)\)
\(=\sin^4\alpha.\cos2\alpha-\cos^4\alpha.\cos2\alpha\)
\(=\cos2\alpha\left(\sin^2\alpha.\sin^2\alpha-\cos^4\alpha\right)\)
\(=\cos2\alpha.\left[\left(1-\cos^2\alpha\right)^2-\cos^4\alpha\right]\)
\(=\cos2\alpha.\left(1-2\cos^2\alpha\right)\)
\(=-\cos^22\alpha\)
2/ \(VT=\frac{1-\cos^2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\frac{1}{1+\sin2\alpha}\)
\(VP=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}=\frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)
hmm, câu 2 có vẻ vô lí, bn thử nhân chéo lên mà xem, nó ko ra KQ = nhau đâu
1)
\((\cos^4a+\sin ^4a)-2(\cos^6a+\sin ^6a)=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^2a+\sin ^2a)(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)
\(=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)
\(=-(\cos ^4a-2\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)=-(\cos ^2a-\sin ^2a)^2=-\cos ^22a\)
(bạn xem lại đề. Nếu thay $(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thành $3(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thì kết quả thu được là $(\cos ^2a+\sin ^2a)^2=1$ như yêu cầu)
2) Sửa đề:
\(\frac{\sin ^2a-\cos ^2a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{(\sin a+\cos a)^2}\)
\(=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-1}{\frac{\sin a}{\cos a}+1}=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}\)
Bạn lưu ý viết đề bài chuẩn hơn.
Mẫn Li
Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)
Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:
\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)
\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)
\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)
\(=cot^2a.cot^2b-1\)
(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))
Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:
\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)
Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!
\(sina.sin\left(\frac{\pi}{3}-a\right)sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)\)
\(=-\frac{1}{2}sina\left[cos\frac{2\pi}{3}-cos2a\right]=-\frac{1}{2}sina\left(-\frac{1}{2}-cos2a\right)\)
\(=\frac{1}{4}sina+\frac{1}{2}sina.cos2a=\frac{1}{4}sina+\frac{1}{4}sin3a-\frac{1}{4}sina\)
\(=\frac{1}{4}sin3a\)
\(sin\frac{\pi}{9}sin\frac{2\pi}{9}sin\frac{4\pi}{9}=sin\frac{\pi}{9}sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{9}\right)sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9}\right)=\frac{1}{4}sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
\(cosa.cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{1}{2}cosa\left(cos\frac{2\pi}{3}+cos2a\right)\)
\(=\frac{1}{2}cosa\left(cos2a-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}cosa.cos2a-\frac{1}{4}cosa\)
\(=\frac{1}{4}cos3a+\frac{1}{4}cosa-\frac{1}{4}cosa=\frac{1}{4}cos3a\)
\(cos\frac{\pi}{18}cos\frac{5\pi}{18}cos\frac{7\pi}{18}=cos\frac{\pi}{18}.cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{18}\right).cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{18}\right)=\frac{1}{4}cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \(\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{1}{3}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Ta có: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} = - \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\)
b) Vì \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin a < 0\). Do đó \(\sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Suy ra \(\tan a\; = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{ - \frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \)
Ta có: \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} - 1}}{{1 + \frac{{\sin a}}{{\cos a}}}} = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}\)
\(A=cosa\left(sinb.cosc-cosb.sinc\right)+cosb\left(sinc.cosa-cosc.sina\right)+cosc\left(sinacosb-cosasinb\right)\)
\(A=cosasinbcosc-cosacosbsinc+cosacosbsinc-sinacosbcosc+sinacosbcosc-cosasinbcosc\)
\(A=0\)
\(B=sin^2x+\frac{1}{2}\left(cos\frac{2\pi}{3}+cos2x\right)\)
\(B=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x\)
\(B=\frac{1}{4}\)
\(C=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(\frac{4\pi}{3}+2x\right)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(\frac{4\pi}{3}-2x\right)\)
\(C=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}\left(cos\left(\frac{4\pi}{3}+2x\right)+cos\left(\frac{4\pi}{3}-2x\right)\right)\)
\(C=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos2x-cos\frac{4\pi}{3}.cos2x\)
\(C=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}cos2x\)
\(C=\frac{3}{2}\)
\(D=\frac{1}{2}\left[\sqrt{2}sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right]^2-sin^2x-sinx.\sqrt{2}cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\)
\(D=\frac{1}{2}\left(sinx+cosx\right)^2-sin^2x-sinx\left(sinx-cosx\right)\)
\(D=\frac{1}{2}\left(1+2sinx.cosx\right)-sin^2x-sin^2x+sinx.cosx\)
\(D=\frac{1}{2}+sinxcosx+sinxcosx=\frac{1}{2}+sin2x\)
Góc độ cao của thang dựa vào tường là 60º và chân thang cách tường 4,6 m. Chiều dài của thang là
\(\frac{\sin^4\alpha}{a}+\frac{\cos^4\alpha}{b}\ge\frac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\("="\Leftrightarrow\frac{\sin^2\alpha}{a}=\frac{\cos^2\alpha}{b}\Leftrightarrow\sin^2\alpha.b=a-a.\sin^2\alpha\)
\(\Leftrightarrow\sin^2\alpha\left(b+a\right)=a\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac{a}{a+b}\)
\(\cos^2\alpha.a=b-b\cos^2\alpha\Rightarrow\cos^2\alpha=\frac{b}{a+b}\)
\(\Rightarrow M=\frac{\frac{a^5}{\left(a+b\right)^5}}{a^4}+\frac{\frac{b^5}{\left(a+b\right)^5}}{b^4}=\frac{a+b}{\left(a+b\right)^5}=\frac{1}{\left(a+b\right)^4}\) => D