Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1.
Tìm Min của P= \({ 1\over x²+y²}\)\(+{2\over xy}\)\(+4xy\)
Cảm ơn trước các bạn nhiều!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 5 2021
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{3}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{4xy}\)
Ta có BĐT phụ: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng )
Dấu "=" xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow P\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1}+2+\frac{5}{1}=11\)
Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min P =11 \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
ML
5 tháng 8 2015
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x = y. Gộp một cách hợp lí các số hạng để áp dụng bất đẳng thức.
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2.
GTNN của A là 6.
\(B=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{8057}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{8057}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{8057}{\left(x+y\right)^2}=8063\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2.
Vậy GTNN của B là 8063.
TN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2023
Lời giải:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}$
$=x+y+\frac{2}{x+y}$
$=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}$
$\geq \frac{x+y}{2}+2\sqrt{\frac{x+y}{2}.\frac{2}{x+y}}$ (áp dụng BDT Cô-si)
$\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}+2=\frac{2}{2}+2=3$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
Bài này mình đánh bị lỗi nha
Lỗi đề ak bn??