Chứng minh rằng:(1+1/2).(1+1/22).(1+1/23)...(1+1/22020)<3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KV
22 tháng 10 2023
a) P = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹⁰¹
= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)
= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3 + 3²)
= 13 + 3³.13 + ... + 3⁹⁹.13
= 13.(1 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 13
Vậy P ⋮ 13
b) B = 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁰
= (1 + 2² + 2⁴) + (2⁶ + 2⁸ + 2¹⁰) + ... + (2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰²⁰)
= 21 + 2⁶.(1 + 2² + 2⁴) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2² + 2⁴)
= 21 + 2⁶.21 + ... + 2²⁰¹⁶.21
= 21.(1 + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁶) ⋮ 21
Vậy B ⋮ 21
c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰
= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)
= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)
= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30
= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)
= 5.6.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶) ⋮ 5
Vậy A ⋮ 5
d) A = 1 + 4 + 4² + ... + 4⁹⁸
= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁹⁷ + 4⁹⁸ + 4⁹⁹)
= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4⁹⁷.(1 + 4 + 4²)
= 21 + 4³.21 + ... + 4⁹⁷.21
= 21.(1 + 4³ + ... + 4⁹⁷) ⋮ 21
Vậy A ⋮ 21
e) A = 11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + ... + 11 + 1
= (11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + 11⁶ + 11⁵) + (11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1)
= 11⁵.(11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1) + 16105
= 11⁵.16105 + 16105
= 16105.(11⁵ + 1)
= 5.3221.(11⁵ + 1) ⋮ 5
Vậy A ⋮ 5
NH
4
19 tháng 5 2017
Đặt A=1/21+1/22+...+1/60=(1/21+1/22+...+1/40)+(1/41+1/42+...+1/60)
Ta có:1/21>1/40, 1/22>1/40,..., 1/39>1/40
=>1/21+1/226+...+1/40>1/40+1/40+...+1/40=1/40.20=1/2
1/41>1/60, 1/42>1/60,...,1/59>1/60
=>1/41+1/42+...+1/60>1/60+1/60+...+1/60=1/60.20=1/3
=>1/21+1/22+...+1/60>1/2+1/3=5/6>11/15
=>A>11/15 (1)
Lại có: 1/21<1/20, 1/22<1/20,...,1/40<1/20
=>1/21+1/22+...+1/40<1/20+1/20+...+1/20=1/20.20=1
1/41<1/40, 1/42<1/40,...,1/60<1/40
=>1/41+1/42+...+1/60<1/40+1/40+...+1/40=1/40.20=1/2
=>1/21+1/22+...+1/60<1+1/2=3/2
=>A<3/2 (2)
Từ (1) và (2)
=>11/15<A<3/2
=>11/15<1/21+1/22+...+1/60<3/2 (đpcm)
BN
2
19 tháng 12 2021
\(P=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{2020}\left(1+2\right)\)
\(=3\left(1+2^2+...+2^{2020}\right)⋮3\)
19 tháng 12 2021
\(P=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{2020}\left(1+2\right)\\ P=\left(1+2\right)\left(1+2^2+...+2^{2020}\right)=3\left(1+2^2+...+2^{2020}\right)⋮3\)
NT
2
18 tháng 4 2022
A=1/2+1/22+1/23+...+1/22020+1/22021 > B=1/3+1/4+1/5+13/60
22 tháng 3 2024
Ta có: A=12+122+123+124+...+122021+122022�=12+122+123+124+...+122021+122022
⇒2A=1+12+122+123+...+122020+122021⇒2�=1+12+122+123+...+122020+122021
⇒2A−A=(1+12+122+123+...+122020+122021)−(12+122+123+124+...+122021+122022)⇒2�-�=(1+12+122+123+...+122020+122021)-(12+122+123+124+...+122021+122022)
⇒A=1−122022<1⇒�=1-122022<1
⇒A<1 (1)⇒�<1 (1)
Lại có: B=13+14+15+1760�=13+14+15+1760
⇒B=1615⇒�=1615
⇒B=1+115>1⇒�=1+115>1
⇒B>1 (2)⇒�>1 (2)
Từ (1)(1) và (2)⇒A<B(2)⇒�<�
Vậy A<B
LT
2
6 tháng 4 2017
Số số hạng của biểu thức A là: (40-21):1+1=20(số hạng)
Ta có : 1/21>1/40,1/22>1/40,1/23>1/40,...,1/40=1/40
1/21+1/22+1/23+...+1/40>1/40+1/40+1/41+1/40+...+1/40( 20 số 1/40)
A>1/40x20=1/2
A>1/20 (1)
Lại có: 1/21=1/21,1/21>1/22,1/21>1/23,...,1/21>1/40
1/21+1/21+1/21+...+1/21(20 số 1/21)>1/21+1/22+1/23+...+1/40
1/21x20>A
20/21>A.Mà 1>20/21
1>A (2)
Từ (1) và (2) ta có : 1/2<A<1(đpcm)
Vậy bài tôán đđcm
6 tháng 4 2017
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+....+\frac{1}{40}\)có 20 số hạng \(\)
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+....+\frac{1}{40}\)có 20 số hạng
\(\frac{1}{21}>\frac{1}{40}\)
\(\frac{1}{22}>\frac{1}{40}\)
\(.....\)
\(\frac{1}{40}=\frac{1}{40}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{21}+\frac{1}{22}+.....+\frac{1}{40}\)
\(1=\frac{1}{40}+....+\frac{1}{40}\)có 40 số hạng mà A chỉ có 20 số hạng
\(\Rightarrow\frac{1}{2}< A< 1\)
H
0
NP
1
12 tháng 3 2019
Cho S = 1/21 + 1/22 + 1/23 +... + 1/60
S1=1/21 + 1/22 +..+ 1/40 (20 số hạng); S2= 1/41 + 1/42 +... + 1/60 (20 số hạng)
* Ta thấy: S1 > 1/40 x 20 = 1/2 (vì 1/40 = 1/40, 19 số hạng kia đều lớn hơn 1/40); S2 > 1/60 x 20 = 1/3
\(\Rightarrow\)S > 1/2 + 1/3 = 5/6 = 25/30 > 22/30 = 11/15
Vậy 1/21 + 1/22 + ... + 1/60 > 11/15
* Ta thấy: S1 < 1/21 x 20 = 20/21(vì 1/20 = 1/20, 19 số hạng còn lại đều bé hơn 1/21); S2 < 1/41 x 20 = 20/41
\(\Rightarrow\)S < 20/21 + 20/41 = 1240/861 < 3/2 (đoạn này thì bạn phải dùng máy tính chứ mik ko bt tính nhanh kiểu j)
Ta có đpcm
PK
1
11 tháng 5 2023
\(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{2020}}+\dfrac{1}{2^{2021}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{2020}}+\dfrac{1}{2^{2021}}\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+...+\dfrac{1}{2^{2021}}+\dfrac{1}{2^{2022}}\)
\(\Rightarrow A-\dfrac{1}{2}A=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{2020}}+\dfrac{1}{2^{2021}}\right)-\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+...+\dfrac{1}{2^{2021}}+\dfrac{1}{2^{2022}}\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^{2022}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}A=\dfrac{2^{2021}-1}{2^{2022}}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{2^{2021}-1}{2^{2023}}.2=\dfrac{2^{2021}-1}{2^{2021}}\)
Vậy \(A=\dfrac{2^{2021}-1}{2^{2021}}\)