Question

[Dong co Pham]

cho f(x) là hàm đa thức thỏa mãn f(0) =-5 và f'(x) =f''(x) + 3x^2 -5 , với mọi x thuộc R . tìm nghiệm lớn nhất thuộc đoạn [-2020;2020] của phương trình f(sin^2 x) =0

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Giả sử \(f\left(x\right)\) có bậc k \(\Rightarrow f'\left(x\right)\) có bậc \(k-1\) và \(f''\left(x\right)\) có bậc \(k-2\)

\(\Rightarrow f''\left(x\right)+3x^2-5\) có bậc lớn nhất bằng \(max\left\{k-2;2\right\}\)

\(\Rightarrow k-1=max\left\{k-2;2\right\}\Rightarrow k-1=2\) (do \(k-1\ne k-2\) với mọi k)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) là đa thức bậc 3 có dạng: \(y=ax^3+bx^2+cx-5\) với \(a\ne0\)

\(3ax^2+2bx+c=6ax+2b+3x^2-5\)

\(\Leftrightarrow3ax^2+2bx+c=3x^2+6ax+2b-5\)

Đồng nhất 2 vế: \(\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\2b=6a\\c=2b-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2+x-5\)

Đặt \(sin^2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(f\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^3+3t^2+t-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+4t+5\right)=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow sin^2x=1\Leftrightarrow cosx=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\Rightarrow\frac{\pi}{2}+k\pi\le2020\Rightarrow k\le\frac{4040-\pi}{2\pi}\)

\(\Rightarrow k_{max}=642\Rightarrow x_{max}=\frac{\pi}{2}+642\pi\)