cho hai số thực a,b thỏa mãn 0<a<b<1 và biểu thức P=\(\log_{\frac{a}{b}}\sqrt{a}-4\log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất . Tính S=a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
W
1
11 tháng 4 2022
\(a< \sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a^2< ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab< 0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)< 0\) (đúng) (1)
\(\sqrt{ab}< \dfrac{a+b}{2}\) (áp dụng BĐT AM-GM). (2)
\(\dfrac{a+b}{2}< b\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}< 0\) (đúng) (3)
-Từ (1), (2), (3) ta suy ra đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2022
1.
Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)
Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)
Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)
Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng
BB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2023
Lời giải:
$a^4-4a=b^4-4b$
$\Leftrightarrow (a^4-b^4)-(4a-4b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a^2+b^2)-4(a-b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-4]=0$
$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)-4=0$ (do $a-b\neq 0$ với mọi $a,b$ phân biệt)
$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)=4>0$
Mà $a^2+b^2>0$ với mọi $a,b$ phân biệt nên $a+b>0$
Mặt khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$4=(a+b)(a^2+b^2)\geq (a+b).\frac{(a+b)^2}{2}$
$\Rightarrow 8> (a+b)^3$
$\Rightarrow 2> a+b$
Vậy $0< a+b< 2$
Ta có đpcm.
\(P=\frac{1}{2}log_{\frac{a}{b}}a-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2log_a\frac{a}{b}}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)
Ta có: \(a+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\le log_a\sqrt{ab}\) (do \(0< a< 1\))
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\sqrt{ab}=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-2\left(1+log_ab\right)\)
Đặt \(log_ab=x\Rightarrow0< x< 1\) \(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\) với \(0< x< 1\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)^2}-2=0\Leftrightarrow\frac{1-4\left(1-x\right)^2}{2\left(1-x\right)^2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
Từ BBT ta thấy \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\)
\(\Rightarrow P\ge-2\Rightarrow P_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}log_ab=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{16}\\b=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=\frac{5}{16}\)