Question

[Nguyễn Mai]

Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}x^2\left(y+1\right)=y\\y^2\left(z+1\right)=z\\z^2\left(x+1\right)=x\end{cases}}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm (nếu 1 nghiệm =0 thì 2 nghiệm còn lại cũng =0)

Với \(x;y;z\ne0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{y}+1\\\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z}+1\\\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x}+1\end{matrix}\right.\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b+1\\b^2=c+1\\c^2=a+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;b;c\ge-1\)

- Nếu \(a>0\Rightarrow c^2>1\Rightarrow c>1\Rightarrow b^2>2\Rightarrow b>1\) \(\Rightarrow a;b;c>0\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow a+1\ge b+1\Rightarrow c^2\ge a^2\Rightarrow c\ge a\Rightarrow c=a\)

\(\Rightarrow a+1=b+1\Rightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow a^2=a+1\Rightarrow a^2-a-1=0\)

\(\Rightarrow a=b=c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

- Tương tự nếu \(-1\le a\le0\Rightarrow-1\le a;b;c\le0\)

Giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow a^2\le c^2\Rightarrow a+1\le b+1\Rightarrow a=b\)

\(\Rightarrow b+1=c+1\Rightarrow b=c\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow a^2=a+1\Rightarrow a^2-a-1=0\Rightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

\(\Rightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

Vậy nghiệm của hệ là \(x=y=z=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}\)