Question

[Nguyễn Thanh Vân]

Cho đường tròn (O, R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O, R). Hạ OH vuông góc với d (). M là một điểm thay đổi trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với đường tròn (O, R). Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K.

a) Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh IH . IO = IQ . IP

c) Chứng minh khi M thay đổi trên d thì tích IQ. IP không đổi

d) Giả sử = 60^0, tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Bảo Nhi]

a.Ta có :MP,MQ là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow MP\perp OP,MQ\perp OQ\)

Mà \(OH\perp MH\Rightarrow M,H,O,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính MO 

b.Ta có : M,H,Q,O,P cùng thuộc một đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{IHQ}=\widehat{IPQ}\)

Mà \(\widehat{HIQ}=\widehat{PIO}\Rightarrow\Delta IPO~\Delta IHQ\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{IO}{IQ}=\frac{IP}{IH}\Rightarrow IH.IO=IQ.IP\)

c.Ta có :

\(MP,MQ\) là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow PQ\perp MO\Rightarrow\widehat{OKI}=\widehat{OHM}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OKI~\Delta OHM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OM.OK=OI.OH\)

Mà \(PK\perp OM,OP\perp MP\Rightarrow OK.OM=OP^2=R^2\)

\(\Rightarrow OI.OH=R^2\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}\)

Vì \(OH\perp d\) cố định  \(\Rightarrow H\)cố định \(\Rightarrow I\) cố định 

\(\Rightarrow IP.IQ=IO.IH\) không đổi 

d ) Ta có : 

\(\widehat{PMQ}=60^0\Rightarrow\widehat{KOQ}=\widehat{KOP}=60^0\)

 Mà \(OK=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}R\)Lại có : \(\widehat{MOQ}=60^0,OQ\perp MQ\Rightarrow\Delta MQO\)là nửa tam giác đều\(\Rightarrow MO=2OQ=2R\Rightarrow MK=OM-OK=\frac{3}{2}R\)\(\Rightarrow\frac{S_{MPQ}}{S_{OPQ}}=\frac{\frac{1}{2}MK.PQ}{\frac{1}{2}OK.PQ}=\frac{MK}{OK}=\frac{3}{4}\)