CMR:
\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\) \(\forall x,y,z,t>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 4 2020
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 4 2020
a/ Một cách đơn giản hơn:
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)
\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)
\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
NH
25 tháng 2 2020
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}-1=\frac{z+x}{y}-1=\frac{x+y}{z}-1\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=\frac{y+z+z+x+x+y}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Do đó: +) \(\frac{y+z}{x}=2\)\(\Rightarrow y+z=2x\)
+) \(\frac{z+x}{y}=2\)\(\Rightarrow z+x=2y\)
+) \(\frac{x+y}{z}=2\)\(\Rightarrow x+y=2z\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{y+x}{y}.\frac{z+y}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{2z}{y}.\frac{2x}{z}.\frac{2y}{x}=2.2.2=8\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 9 2020
\(A\ge\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\right)^2=\frac{100}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
25 tháng 2 2017
Áp dụng liên tiếp bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:
A = \(\left(xyz+1\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\)\(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=\left(xy+\frac{y}{x}\right)+\left(yz+\frac{z}{y}\right)+\)\(\left(xz+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(\ge2\sqrt{xy.\frac{y}{x}}+2\sqrt{yz.\frac{z}{y}}+2\sqrt{xz.\frac{x}{z}}+\)\(+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(A\ge2y+2z+2x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(=x+y+z+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)\)
\(A\ge x+y+z+2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\)\(2\sqrt{z.\frac{1}{z}}=x+y+z+2.3=x+y+z+6\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
a/ Đơn giản là dùng phép thế:
\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)
\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)
Thế vào pt cuối:
\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)
Vậy là xong
b/ Sử dụng hệ số bất định:
\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)
Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)
Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):
\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)
áp dụng bđt cô si có:
\(x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}\)
nhân theo vế \(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge4\cdot4\sqrt[4]{xyzt\cdot\frac{1}{xyzt}}=16\)