CM Nếu \(0\le y\le x\le1\)thì \(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\le\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
6 tháng 8 2019
Mình cũng nghĩ là đề sai,... do cái này là tài liệu trên mạng.
LT
0
NT
0
PG
1
7 tháng 3 2020
Với \(0\le x;y\le1\) ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}\ge\frac{x}{\sqrt{1+3}}+\frac{y}{\sqrt{1+3}}=\frac{x+y}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Có: \(0\le x;y\le1\)
=> \(0\le x^2\le x\le1;0\le y^2\le y\le1\)
\(\left(\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}\right)^2\le2\left(\frac{x^2}{y+3}+\frac{y^2}{x+3}\right)\le2\left(\frac{x}{x+y+2}+\frac{y}{x+y+2}\right)\)
\(=2\left(\frac{x+y+2}{x+y+2}-\frac{2}{x+y+2}\right)\le2\left(1-\frac{2}{1+1+2}\right)=1\)
=> \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra x<=> = y =1
N
0
15 tháng 6 2017
a/ \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)-2\left(1+x\right)\left(1+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-x-y-2xy\le0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{xy}-1\right)\le0\) đúng vì \(x,y\le1\)
b/ Vì \(\hept{\begin{cases}0\le x\le y\le z\le t\\yt\le1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xz\le1\\yt\le1\end{cases}}\)
Áp dụng câu a ta được
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}\le\frac{2}{1+\sqrt{xz}}+\frac{2}{1+\sqrt{yt}}\le\frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}\)
Ta có:
\(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\le\sqrt{x}\left(\frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2}\right)^2\le\frac{x}{4}\le\frac{1}{4}\)(BĐT AM-GM)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\\sqrt{y}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)