Question

[Absolute]

Cho 2 số x,y dương

Chứng minh rằng \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)≥\(\frac{4}{x+y}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{1}{xy}\)+\(\frac{1}{x^2+xy}\)+\(\frac{1}{y^2+xy}\)+\(\frac{1}{x^2+y^2}\) với x+y≤1

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

*Áp dụng Cosi với x,y>0 ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(2\right)\)

Nhân (1),(2) có: \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)

**\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}+\frac{1}{x^2+y^2}\)

Ta có: \(\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=4\)

Answer 2

[Trần Quốc Khanh]

Có: \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\le4\)

Theo Cosi ta có: \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\left(\frac{2}{x+y}\right)^2\ge\left(\frac{2}{1}\right)^2=4\)

Áp dụng Cosi ta có: \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\left(\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{8}\)(1)

Mà ta có ở trên: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}\ge2\)

Vậy Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4+4+2=10\)

Với x=y=1/2