Question

[Achana]

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB <AC) có AD là tia phân giác của góc BAC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu phim của D trên AB và AC, E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN

a, C/m tứ giác AMDN là hình vuông và EF//BC

b, Gọi H là giao điểm của BN và CM. C/m tam giác ANB đồng dạng với tam giác NFA và H là trực tâm tam giác AEF

c, Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK và AD là I. Chứng minh:\(\frac{BI}{KI}+\frac{AO}{KO}+\frac{DM}{KM}\ge9\)

Mình cần giúp câu c) ạ .Mong mọi người giúp mik

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

c/H là trực tâm tgiac AEF\(\Rightarrow AO\perp EF\)

Mà EF//BC\(\Rightarrow AO\perp BC\)

Vậy \(\Delta ABD\) có các đường cao AO,DM cắt tại K

Nên BI\(\perp AD\)

Ta có: \(\frac{KI}{BI}=\frac{S_{AKD}}{S_{ABD}}\left(1\right),\frac{KO}{AO}=\frac{S_{BKD}}{S_{ABD}}\left(2\right),\frac{MK}{MD}=\frac{S_{AKB}}{S_{ABD}}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2) và (3) có: \(\frac{KI}{BI}+\frac{KO}{AO}+\frac{KM}{DM}=\frac{S_{AKD}+S_{AKB}+S_{BKD}}{S_{ABD}}=1\)

Áp dụng BĐT Shwars có:

\(\frac{BI}{KI}+\frac{AO}{KO}+\frac{DM}{KM}=\frac{1}{\frac{KI}{BI}}+\frac{1}{\frac{KO}{AO}}+\frac{1}{\frac{KM}{DM}}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{KI}{BI}+\frac{KO}{AO}+\frac{KM}{DM}}=\frac{9}{1}=9\left(ĐPCM\right)\)

Answer 2

[Võ Đức Tân]

Wao,Đây là thiên tài có 103 của Việt Nam,thay 3 =2