Question

[Bảo Nguyễn Quang]

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Ký hiệu S là diện tích. Cho \(S_{AOB}\)=\(a^2\)(\(cm^2\))và \(S_{COD}\)=\(b^2\)(\(cm^2\)) với a,b là hai số cho trước.

a) hãy tìm giá trị bé nhất của \(S_{ABCD}\)?

b)Giả sử \(S_{ABCD}\)bé nhất. Hãy tìm điểm M trên đường chéo BD sao cho đường thẳng M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đường chéo AC, BD chia thành ba phần bằng nhau.

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

\(S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{DOC}+S_{AOD}+S_{BOC}=a^2+b^2+M\)

\(S_{ABCD}\)nhỏ nhất khi M nhỏ nhất

BĐT Cosi \(\left(S_{AOD}+S_{BOC}\right)^2\ge4\cdot S_{AOD}\cdot S_{BOC}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\right)^2\ge S_{AOD}\cdot S_{BOC}\)(*)

Dấu "=" khi và chỉ khi S_AOD=S_BOC

Vì \(\Delta\)AOD và \(\Delta\)AOB có chung đường cao kẻ từ A  => \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\frac{OB}{OD}\left(1\right)\)

Tương tự với \(\Delta COD\)và \(\Delta COB\)=> \(\frac{S_{COB}}{S_{COD}}=\frac{OB}{OD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\frac{S_{COB}}{S_{COD}}\)

\(\Rightarrow S_{AOD}\cdot S_{BOC}=S_{AOB}\cdot S_{COD}=a^2b^2\)

Khi đó (*) => \(\left(\frac{S_{AOD}+S_{BOC}}{2}\right)^2\ge a^2b^2\Rightarrow\frac{S_{AOD}+S_{BOC}}{a}\ge2\left|a\right|\left|b\right|\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=a^2+b^2+M\ge a^2+b^2+2\left|a\right|\left|b\right|=\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)

Vậy S_ABCD nhỏ nhất =(|a|+|b|)² <=> S_AOD=S_BOC