Cho (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Vẽ đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi M là giao điểm của BF và HE, N là giao điểm của HF và CE. Chứng minh: MN \(//\)BC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 4 2020
a) \(\hept{\begin{cases}\widehat{HFE}=\widehat{HAE}\\\widehat{HAE}+\widehat{ABH}=90^O\end{cases}\Rightarrow\widehat{HFE}+\widehat{ABH}=90^O}\)
=> \(\widehat{HFE}+\widehat{ABC}=90^O\)(đpcm)
b) AEHF nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{AHF}\)
Mà \(\widehat{AHF}=\widehat{ACB}\)( cùng phụ với \(\widehat{HAC}\))
=> \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)
=> BEFC là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{EBF}=\widehat{FCE}\\\widehat{BEM}=\widehat{NFC}=90^O\end{cases}\Rightarrow\widehat{EMB}=\widehat{FNC}}\)
\(\Rightarrow\widehat{EMF}=\widehat{ENF}\)
=> EMNF là tứ giác nội tiếp
=> góc ENM = góc EFB
Mà BEFC nội tiếp => góc EFB = góc ECB
Từ 2 điều trên => góc ENM = góc ECB
=> MN // BC => đpcm
HY
3 tháng 4 2020
a) từ đề bài ta có:
\(HE\perp AB,HF\perp AC\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^O+90^O=180^O\)
\(\Rightarrow AEHF\) nội tiếp
b) từ câu a\(\rightarrow\widehat{HFE}=\widehat{HAE}=\widehat{HAB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{HFE}=\widehat{ABC}+\widehat{BAH}=90^O\)
c) Ta có : AEHF nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{AHF}=\widehat{ACB}\left(+\widehat{FHC}=90^O\right)\)
→EFCB nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BFC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BEC}-90^O=\widehat{BFC}-90^O\)
\(\Rightarrow\widehat{HEC}=\widehat{HFB}\)
→EFNM nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{EFB}=\widehat{ECB}\)
\(\Rightarrow MN//BC\)
6 tháng 1 2023
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ
nên AEHF là hình chữ nhật
=>AH=EF
b: góc IFE=90 độ
=>góc IFH+góc EFH=90 độ
=>góc IFH+góc AHF=90 độ
=>góc IFH=góc IHF
=>IH=IF và góc IFC=góc ICF
=>IH=IC
=>I là trung điểm của HC
Xét ΔHAC có HO/HA=HI/HC
nên OI//AC và OI=AC/2
=>OI//AK và OI=AK
=>AOIK là hình bình hành
T
3 tháng 1 2019
a)ta có \(\Delta\)ABC cân tại A(AB=AC)
mà AH là đường trung tuyến(H là trung điểm BC)
nên AH là đường cao,đường phân giác,đường trung trực
xét \(\Delta\)vuông ABH và \(\Delta\)vuông ACH(ah là đường cao) có:
AB=AC(gt)
AH là cạnh chung
nên \(\Delta\)ABH=\(\Delta\)ACH
b)xét \(\Delta\)vuông AHE và \(\Delta\)vuông AHF có
AH là cạnh chung
góc EAH=góc FAH(AH là đường phân giác)
nên \(\Delta\)AHE=\(\Delta\)AHF
c)xét \(\Delta\)AEN và \(\Delta\)AFM có
AE=AF(\(\Delta\)AHE=\(\Delta\)AHF)
góc EAH=góc FAH(AH là đường phân giác)
góc NEA=góc MFA(\(\Delta\)AHE=\(\Delta\)AHF)
nên \(\Delta\)AEN=\(\Delta\)AFM
nên AM=AN
mà AE=AF
nên ME=NF(chứng minh xong)
xét \(\Delta\)MEN và \(\Delta\)MFN có
ME=NF
EF là cạnh chung
góc FME=góc ENF(\(\Delta\)AEN=\(\Delta\)AFM)
nên \(\Delta\)MEN=\(\Delta\)MFN
nên MF=NE
d)ta có \(\Delta\)AMN cân tại A(AM=AN)
nên góc AMN=góc ANM
mà góc AEN=góc AFM(\(\Delta\)AEN=\(\Delta\)AFM)
nên góc ENM=góc FMN
nên 2 góc HMN=góc ENM+góc FMN
ta có \(\Delta\)HEF cân tại H(HE=HF)
nên góc HEF=góc HFE=2 góc HFE
ta có 2 góc HEF+góc EHF=2 góc HMN+góc MHN=180 độ
mà góc EHF=góc MHN(đối đỉnh)
nên 2 góc HMN=2 góc HEF
nên góc HMN=góc HEF
mà 2 góc này ở vị trí slt
nên EF//MN
xét tam giác AEF zà tam giác ACB có
góc A chung
góc AEF= góc AHF = góc C
=> tam gác AEF ~ tam giác ACB(gg
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
=> tam giác AEC ~ tam giác AFB(c.g.c)
=> góc ABF = góc ACE
mà \(\hept{\begin{cases}\widehat{ABF}+\widehat{EMB}=90^0\\ACE+\widehat{CNF}=90^0\end{cases}}\)
=> góc EMB = góc CNF
lại có \(\hept{\begin{cases}\widehat{EMB}=\widehat{HMF(}đđ)\\\widehat{CNF}=\widehat{HNE}\left(dđ\right)\end{cases}}\)
=> góc HMF = góc HNE
=> tam giác HMF ~ tam giác HNE (gg)
=> \(\frac{HM}{HN}=\frac{HF}{HE}\)
=> tam giác HMN ~ tam giác HFE (gg)
=> góc HEF = góc HNM
mà góc HEF= góc HAC = góc FHC
=> góc HNM = góc FHC
=> MN//BC