Cho các số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn x + y2 + z2, y + z2 + x2, z + x2 + y2 đều là số nguyên. Chứng minh rằng 2x, 2y, 2z đều là số nguyên.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
27 tháng 5 2018
\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)
NT
0
NT
0
NT
0
ND
1
4 tháng 10 2023
Do 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸3\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[3\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải tồn tại 1 số chia hết cho 3.
Tương tự, một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸4\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[4\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải có 1 số chia hết cho 4.
Từ 2 điều trên, kết hợp với \(\left(4,3\right)=1\), thu được \(xy⋮3.4=12\). Ta có đpcm.
NP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2021
Lời giải:
$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$
Mà:
$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$
Và:
\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)
\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)
\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021
Lời giải:
Đặt $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t$
$\Rightarrow a=xt; b=yt; c=zt$. Ta có:
$a+b+c=xt+yt+zt=t(x+y+z)=t$
$a^2+b^2+c^2=t^2(x^2+y^2+z^2)=t^2$
$ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{t^2-t^2}{2}=0$
Ta có đpcm.
Đặt \(x=\frac{a}{d},y=\frac{b}{d},z=\frac{c}{d}\) với \(a,b,c,d\in Z,D>0\) và \(\left(a,b,c,d\right)=1\)
Ta có : \(x+y^2+z^2=\frac{da+b^2+c^2}{d^2}\) theo giả thiết,suy ra \(ad+b^2+c^2\) chia hết cho \(d^2\).Chứng minh tương tự : \(db+a^2+c^2\) và \(dc+a^2+b^2\)chia hết cho \(d^2\) hay \(a^2+c^2,c^2+b^2,a^2+b^2⋮d\) . Do đó :
\(2a^2=\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)-\left(b^2+c^2\right)⋮d\)
Tương tự,ta cũng có : 2b^2;2c^2 chia hết cho d.
* TH1 : Nếu \(d\) có ước nguyên tố lẻ là p thì do \(2a^2,2b^2,2c^2⋮d\)nên a\(a,b,c⋮p\Rightarrow\left(a,b,c,d\right)>p>1\left(\text{vô lý}\right)\)=> d phải là lũy thừa của 2 (1)
* TH2 : Nếu d chia hết cho 4 thì do \(2a^2,2b^2,2c^2⋮4\Rightarrow a,b,c\) chẵn, do đó \(\left(a,b,c,d\right)\ge2>1\left(\text{vô lý}\right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra d = 1 hoặc d = 2
* Nếu d = 1 => x = a \(\in Z\Rightarrow2x\in Z\)
* Nếu d = 2 thì x= =a/2 nên 2x = a \(\in Z\)
Hoán vị vòng quanh x,y,z ta đều được \(2x,2y,2z\in Z\) (đpcm)