K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 3 2020

Nếu đề không có điều kiện gì thêm, với x = 0 => VT = 2 < 3

NV
24 tháng 10 2020

Ta có:

\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy}+\frac{xy+yz+zx}{yz}+\frac{xy+yz+zx}{zx}\)

\(VT=3+\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\) (1)

Mặt khác:

\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}\ge2\sqrt{\frac{zx\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{xy^2z}}=2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y^2}}=\frac{2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}{y}=\frac{2\sqrt{y^2+1}}{y}\)

Tương tự: \(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{x^2+1}}{x}\) ; \(\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{z^2+1}}{z}\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{xz}\ge\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2+1}}{y}+\frac{\sqrt{z^2+1}}{z}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=...\)

22 tháng 3 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2x}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{2}{y}}=2\sqrt{2}\)

=> \(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

22 tháng 3 2021

ấp dụng bđt cosy cho 2 cặp số dương \(\left(x,\frac{1}{2x}\right)\)và \(\left(y,\frac{2}{y}\right)\)ta có

\(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{2}{y}}=2.\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

4 tháng 6 2019

Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\left(a,b,c>0\right)\)

Khi đó 

\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)và \(a^2+b^2+c^2\ge3\)

<=>\(P=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{cb^2}+\frac{c^4}{ac^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+cb^2+ac^2}\)(bất đẳng thức cosi schwaz)

Ta có 

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^3+b^2a\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

                                                        \(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

=> \(a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}\)

Khi đó 

\(P\ge\sqrt{3}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge3\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 => x=y=z=1

5 tháng 2 2020

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)

Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{3}{2}\)

5 tháng 2 2020

nhầm sửa x = y = z = 1 nha

9 tháng 2 2017

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

Xét \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)

\(\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Ta có: \(x+y+z\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\) ( đpcm )

20 tháng 10 2020

1111111111111111111

\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)

Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)

Là xong.

10 tháng 3 2020

Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\left(a,b,c>0\right)\)

Khi đó :

\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)\(a^2+b^2+c^2\ge3\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{cb^2}+\frac{c^4}{ac^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+cb^2+ac^2}\) ( theo BĐT cô-si schwarz )

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^3+b^2a\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}\)

Khi đó :

\(P\ge\sqrt{3}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\Rightarrow x=y=z=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

NV
6 tháng 3 2020

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

\(VT=\sum\frac{\sqrt{1+a^6+b^6}}{a^3b^3}\ge\sum\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^6b^6}}}{a^3b^3}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)