K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 2 2020

\(VT=\left(\frac{1}{x^3+y^3+xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^3+y^3+xy\left(x+y\right)+2xy\left(x+y\right)}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=11\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

1 tháng 3 2020

Ta có:

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{a+b}\) với a,b dương

Do x+y=1 nên ta có:

\(A=\frac{1}{x^3+xy+y^3}+\frac{4y^2x^2+2}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)

Ta có:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Ta sử dung bđt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(a,b>0\right)\)thì \(4xy+\frac{1}{4xy}=\frac{4xy}{1}+\frac{1}{4xy}\ge2\)

Mặt khác 

\(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)Nên ta suy ra:

\(A=\frac{1}{x^3+xy+y^3}+\frac{4y^2x^2+2}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\ge4+2+5=11\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=\(\frac{1}{2}\)

20 tháng 12 2021

Đề đây ạ:

Tìm các số nguyên x và y sao cho (x-3)(x+y)=7

19 tháng 1 2022

Đặt \(\dfrac{x-y}{z}=m,\dfrac{y-z}{x}=n,\dfrac{z-x}{y}=p\), ta có:

\(\left(m+n+p\right)\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}\right)=3+\dfrac{n+p}{m}+\dfrac{p+m}{n}+\dfrac{m+n}{p}\)

Tính \(\dfrac{n+p}{m}\) theo x, y, z ta được:

\(\dfrac{n+p}{m}=\dfrac{z}{x-y}.\dfrac{y^2-yz+xz-x^2}{xy}=\dfrac{z}{xy}\left(-x-y+x\right)\)

           \(=\dfrac{z}{xy}\left(-x-y-z+2z\right)=\dfrac{2x^2}{xy}\) vì \(\left(x+y+z\right)=0\)

Tương tự:    \(\dfrac{m+p}{n}=\dfrac{2x^2}{yz}.\dfrac{m+n}{p}=\dfrac{2y^2}{xz}\)

Vậy \(\left(m+n+p\right)\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}\right)=3+\dfrac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)}{xyz}=3+\dfrac{2.3xyz}{xyz}=3+6=9\)

 

28 tháng 7 2018

tích mình đi

ai tích mình

mình ko tích lại đâu

thanks

tích mình đi

ai tích mình 

mình tích lại 

thanks

23 tháng 10 2021

Đặt \(P=\left(\dfrac{x-y}{z}+\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}\right)\left(\dfrac{z}{x-y}+\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}\right)=9\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-y}{z}=a\\\dfrac{y-z}{x}=b\\\dfrac{x-z}{y}=c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\ =1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\\ =3+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}\)

Ta có \(\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{\dfrac{x-y}{z}+\dfrac{z-x}{y}}{\dfrac{y-z}{x}}=\dfrac{xy-y^2+z^2-xz}{yz}\cdot\dfrac{x}{y-z}\)

\(=\dfrac{\left(z-y\right)\left(y+z-x\right)x}{yz\left(y-z\right)}=\dfrac{x\left(x-y-z\right)}{yz}\)

Mà \(x+y+z=0\Leftrightarrow x=-y-z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{x\left(x+x\right)}{yz}=\dfrac{2x^2}{yz}\)

Cmtt ta được \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{2y^2}{xz};\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2z^2}{xy}\)

Cộng vế theo vế

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{2x^2}{yz}+\dfrac{2y^2}{xz}+\dfrac{2z^2}{xy}+3=\dfrac{2x^3+2y^3+2z^3}{xyz}+3\\ \Leftrightarrow P=\dfrac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)}{xyz}+3\)

Lại có \(x+y+z=0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\\ \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Thế vào \(P\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{2\cdot3xyz}{xyz}+3=6+3=9\)

4 tháng 4 2022

bn có giải đc ko?

4 tháng 4 2022

d. Áp dụng BĐT Caushy Schwartz ta có:

\(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le x+y+\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=x+y+\dfrac{4}{x+y}\le1+\dfrac{4}{1}=5\)

-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

11 tháng 12 2016

Ta có:

\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)

\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)

\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)

\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)

 

 

 

NV
13 tháng 7 2021

\(x^2+y^2-z^2>0\Rightarrow x^2+2xy+y^2-z^2>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-z^2>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)>0\)

Mà x;y;z>0 \(\Rightarrow x+y+z>0\)

\(\Rightarrow x+y-z>0\)

13 tháng 12 2021

\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

13 tháng 12 2021

Lm dùm mik bài dưới lun vs