nt. Giải giúp em với ạ
36. Biết \(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{1+tanx}dx\) = \(a\pi+bln2\) với a;b là các số hữu tỉ. Tính tỉ số \(\frac{a}{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
2
10
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 2 2023
Lời giải:
\(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin 2x\cos x}{1+\cos x}dx=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{2\sin x\cos ^2x}{\cos x+1}dx=2\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\cos^2x\sin xdx}{\cos x+1}\)
\(=2\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{-\cos ^2xd(\cos x)}{\cos x+1}=2\int ^{0}_{1}\frac{-t^2dt}{t+1}=2\int ^{1}_{0}\frac{t^2}{t+1}dt\)
\(=2\int^1_0\frac{(t^2-1)+1}{t+1}dt=2\int ^1_0(t-1+\frac{1}{t+1})dt\)
\(=2(\frac{t^2}{2}-t+\ln|t+1|)|^{1}_0=2\ln 2-1\)
MT
1
DL
20 tháng 2 2021
Câu nào mình biết thì mình làm nha.
1) Đổi thành \(\dfrac{y^4}{4}+y^3-2y\) rồi thế số.KQ là \(\dfrac{-3}{4}\)
2) Biến đổi thành \(\dfrac{t^2}{2}+2\sqrt{t}+\dfrac{1}{t}\) và thế số.KQ là \(\dfrac{35}{4}\)
3) Biến đổi thành 2sinx + cos(2x)/2 và thế số.KQ là 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2019
Để ý rằng \(\left\{{}\begin{matrix}5=1+4\left(sin^2x+cos^2x\right)\\\left(2sinx+3cosx\right)^2=4sin^2x+9cos^2x+6sin2x\end{matrix}\right.\)
\(\frac{5+5cos^2x+6sin2x}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}=\frac{4sin^2x+9cos^2x+6sin2x+1}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}=1+\frac{1}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0dx+\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{dx}{\left(2sinx+3cosx\right)^2}=\frac{\pi}{4}+I_1\)
\(I_1\) có thể ném vào casio và cho kết quả \(\frac{1}{15}\), hoặc nếu thích tính tay thì ta chia cả tử và mẫu cho \(cos^2x\) và sau đó đặt \(t=tanx\) là xong
\(\Rightarrow I=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{15}=\frac{15\pi+4}{60}\Rightarrow a+b+c=79\)
\(\frac{1}{1+tanx}=\frac{cosx}{cosx+sinx}=\frac{1}{2}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx+sinx}+\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}\right)\)
\(\Rightarrow\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{1+tanx}dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1+\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}\right)dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{d\left(cosx+sinx\right)}{cosx+sinx}\)
\(=\frac{1}{2}x|^{\frac{\pi}{4}}_0+\frac{1}{2}ln\left(sinx+cosx\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}ln\sqrt{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}ln2\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{8}\) ; \(b=\frac{1}{4}\)