Question

[ILoveMath]

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, trên cạnh AB lấy E, trên cạnh AC lấy F sao cho HE vuông góc với HF tại H (H∈BC, E∈AB, F∈AC). Chứng tỏ trung điểm của đoạn thẳng EF nằm trên 1 đường thẳng cố định

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Minh]

Gọi G là trung điểm AH, I là trung điểm EF, MN là đtb tg ABC

Dễ thấy NG//BC;MG//BC nên M,N,G thẳng hàng

Xét tg AEF và tg HEF có AI;HI là trung tuyến ứng vs ch EF nên \(AI=HI=\dfrac{1}{2}EF\)

Do đó tg AIH cân tại I

Mà IG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên IG là đg cao hay \(IG\perp AH\left(1\right)\)

Xét tg AHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng ch AB nên \(AM=HM=\dfrac{1}{2}AB\)

Do đó tg AHM cân tại M

Mà MG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên MG là đg cao hay \(MG\perp AH\left(1\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow MG//GI\)

Từ đó ta được M;G;I thẳng hàng

Do đó I;M;N thẳng hàng

Vậy trung điểm EF là I nằm trên đt cố định là đường trung bình MN của tg ABC