a, cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a/a+2b=b/b+2c=c/c+2
chứng minh rằng tổng (a+b+c)chia hết cho 3
b, cho các số nguyên dương a, b, c, thỏa mãn 1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2=1
mọng mn giúp đỡ
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=m^2+n^2+p^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2=2\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
Vì \(2\left(m^2+n^2+p^2\right)⋮2\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2⋮2\)(1)
Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên:
\(a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+m\left(m-1\right)\)
\(+n\left(n-1\right)+p\left(p-1\right)\)là số chẵn
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2\right)-\left(a+b+c+m+n+p\right)⋮2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + m + n + p chia hết cho 2
Mà a + b + c + m + n + p > 2 ( do a,b,c,m,n,p dương) nên a + b + c + m + n + p là hợp số (đpcm)
+ Nếu \(a\)\(;\)\(b\) không chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) \(a^2;\)\(b^2\)chia 3 dư 1
khi đó \(a^2+b^2\) chia 3 dư 2 \(\Rightarrow\)\(c^2\) chia 3 dư 2 (vô lý)
\(\Rightarrow\)trường hợp \(a\)và \(b\) không chia hết cho 3 không xảy ra \(\Rightarrow\) \(abc\)\(⋮\)\(3\) \(\left(1\right)\)
+ Nếu \(a\)\(;\)\(b\) không chia hết cho 5 \(\Rightarrow\)\(a^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4 cà \(b^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4
+ Nếu \(a,\)\(b,\)\(c\) không chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) \(a^2,\)\(b^2,\)\(c^2\) chia 8 dư 1 hoặc 4
khi đó \(a^2+b^2\) chia 8 dư \(0,\)\(2\)hoặc
\(\Rightarrow\) c2:5 dư 1,4. vô lý => a hoặc b hoặc c chia hết cho 4 (3)
Từ (1) (2) và (3) => abc chia hết cho 60
Vì \(\left|a\right|\le1;\left|b-1\right|\le2\)
\(=>\left|a\right|\cdot\left|b-1\right|=\left|ab-a\right|\le2\)
Áp dụng BĐT \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) ta có:
\(\left|a-c+ab-a\right|\le\left|a-c\right|+\left|ab-a\right|=2+3=5\)
\(=>\left|ab-c\right|\le5\)
\(2.\left(a^2+b^2\right)-1⋮a+b+1\left(a+b+1\in Z\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-1⋮a+b+1\Leftrightarrow\left(2b\right)^2-1^2⋮a+b+1\)
\(\Leftrightarrow\left(2b-1\right).\left(2b+1\right)⋮2b+1\left(\text{luôn đúng}\right)\)
p/s: ko bt cách c/m này đc ko nx...
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt Cô Si: \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự,cộng theo vế và rút gọn =>đpcm
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt CÔ si
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
.............
Ta có:
\(\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\) vì a,b,c nguyên dương
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=a+2b\\3b=b+2c\\3c=c+2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=2b\\2b=2c\\2c=2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow a+b+c=3a⋮3\left(đpcm\right)\)
Vì vai trò của a, b, c, d như nhau nên giả sử \(a\le b\le c\le d\)
\(\Rightarrow a^2\le b^2\le c^2\le d^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}\ge\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{d^2}\)
\(\Rightarrow4.\frac{1}{a^2}\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a^2}\ge1\Rightarrow a^2\le4\)
\(\Rightarrow a\le2\)
TH1: \(a=1\)
⇒Không có b, c, d thỏa mãn đề bài.
TH2: \(a=2\)
\(\Rightarrow a=b=c=d=2\) thỏa mãn đề bài
Vậy
\(a=b=c=d=2\) thỏa mãn đề bài