Cho x,y,z,t là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức:\(x^2+z^2=y^2+t^2\)
Chứng minh x+y+z+t là hợp số
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 1 2020
Ta có:x2 + z2 = y2 + t2
Xét P = (x2 + z2 + y2 + t2) - (x + z + y + t)
= (x2 - x) + (z2 - z) + (y2 - y) + (t2 - t)
= x(x - 1) + z(z -1) + y(y -1) + t(t -1) chia hết cho 2
(Vì tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2)
Thay x2 + z2 = y2 + t2 vào P ta được:
P = 2(x2 + z2) - (x + y + z + t) chia hết cho 2
Mà 2(x2 + z2) chia hết cho 2
=>x + y +z + t chia hết cho 2
Vì x,y,z,t nguyên dương nên x + y + z + t > 2
Suy ra x + y + z + t là hợp số
Chúc bn hc tốt
Chúc bn ăn Tết vui vẻ
9 tháng 4 2019
đề bài phải là x,y,z,t nguyên dương.
Vì nếu cho x=z=1;y=t=0 thì thỏa mãn: x²+y²=z²+t²
nhưng x+y+z+t = 2 là số nguyên tố.
với x,y,z,t là số nguyên dương => x+y+z+t >=4
giả sử x+y+z+t là số nguyên tố
ta có x+y+z+t >= 4 => x+y+z+t lẽ
=> trong x,y,z,t có một số lẽ số lẽ ( 1 hoặc 3 số lẽ )
* trường hợp 1: có 1 số lẽ, giả sử là x => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý vì chúng bằng nhau
* trường hợp 2: có 3 số lẽ, 1 số chẳn, giả sử x chẳn. => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý.
mọi trường hợp đều dẫn kết điều mâu thuẩn , vậy giả thiết phản chứng là sai và bài toán được chứng minh.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 8 2021
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
7 tháng 8 2021
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673
20 tháng 8 2020
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử $x+y+z+t$ là số nguyên tố. Vì $x,y,z,t$ nguyên dương nên $x+y+z+t\geq 4$. Do đó nó là snt lẻ.
$\Rightarrow x+z$ và $y+t$ phải khác tính chẵn lẻ.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x+z$ chẵn và $y+t$ lẻ. Khi đó:
$x^2+z^2=(x+z)^2-2xz$ chẵn
$y^2+t^2=(y+t)^2-2yt$ lẻ
Do đó $x^2+z^2$ không thể bằng $y^2+t^2$ (trái với giả thiết)
Vậy $x+y+z+t$ là hợp số.
hmm...
\(x^2+z^2=y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=2\left(y^2+z^2\right)\)
Do đó \(x^2+y^2+z^2+t^2⋮2\) (1)
Lại có: \(x^2-x⋮2;y^2-y⋮2;z^2-z⋮2;t^2-t⋮2\)
\(\Rightarrow x^2-x+y^2-y+z^2-z+t^2-t⋮2\)
Hay \(\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)-\left(x+y+z+t\right)⋮2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+t⋮2\)
Mà \(x,y,z,t\) đều là các số dương nên \(x+y+z+t>2\) => \(x+y+z+t\) là hợp số.