Cho a,b,c>0 và \(a+b+c=\frac{3}{2}\).CMR:
\(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge\frac{27}{8}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
T
2 tháng 9 2019
* Bài này sử dụng cách đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}.\Sigma\left(a-b\right)^2\)
\(27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8\left(a+b+c\right)^3\)
\(=\Sigma\left(-4a-4b-c\right)\left(a-b\right)^2\)
--------------------------------------------------
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{8\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge0\) (tự hiểu:v)
\(\Leftrightarrow\frac{4.\frac{1}{2}\Sigma\left(a-b\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{\Sigma\left(-4a-4b-c\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-b\right)^2\left(\frac{2}{ab+bc+ca}-\frac{4a+4b+c}{\left(a+b+c\right)^3}\right)\ge0\)
Ta chỉ cần chứng minh \(\frac{2}{ab+bc+ca}-\frac{4a+4b+c}{\left(a+b+c\right)^3}>0\) (rồi tương tự các biểu thức còn lại phía sau:v)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)^3-\left(4a+4b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+2a^2b+2a^2c+2ab^2+3abc+5ac^2+2b^3+2b^2c+5bc^2+2c^3}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}>0\) (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)
Như vậy tương tự các biểu thức còn lại phía sau ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2017
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
2 tháng 3 2017
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"
20 tháng 11 2018
\(\frac{a}{bc\left(c+a\right)}+\frac{b}{ca\left(a+b\right)}+\frac{c}{ab\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{abc}\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)
\(\ge\frac{1}{abc}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\ge\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}.\frac{a+b+c}{2}=\frac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
1 tháng 1 2020
<3
Cần CM: \(\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}a-\frac{27}{16}\)\(\left(0< a< 1\right)\)
thaajt vậy, bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-\frac{1}{3}\right)^2\left(15a^2-38a+27\right)\ge0\) đúng
\(\Sigma\frac{a}{\left(b+c\right)^3}=\Sigma\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}\left(a+b+c\right)-\frac{81}{16}=\frac{27}{8}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1