Cho x,y>0 , x+y=2 . Chứng minh xy(x2+y2) <= 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 6 2020
a) x<y
<=> x.x<x.y
<=> x\(^2\)<xy
x<y
<=> x.y<y.y
<=>xy<y\(^2\)
b) áp dụng kết quả từ câu a và tính chất bắc cầu, ta có:
x\(^2\)<xy<y\(^2\)
<=> x\(^2\)<y\(^2\)
x\(^2\)<y\(^2\)
=> x\(^2\).y<y\(^2\).y
<=> x\(^2\)y<y\(^3\)(1)
x\(^2\)<y\(^2\)
=> x\(^2\).x<y\(^2\).x
<=> x\(^3\)<xy\(^2\)(2)
x<y
<=> x.xy<y.xy
<=> x\(^2\)y<xy\(^2\)(3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
x\(^3\)<y\(^3\)
TD
2
4 tháng 3 2018
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le2\) biết \(^{x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0}\) và xy>0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
2 tháng 2 2020
Bài này áp dụng BĐT Cô-si nhưng thử thế này:
Ta thấy x,y đều là số nguyên dương nên có 2 TH:
=> x+y=2=>0<xy<1(1)
Nếu 2xy(x2+y2) < 1 (2)
=>0<2xy(x2+y2) < \(\frac{\left(x+4\right)}{4}\) =4
=> 0< xy (x2 + y2)<2
Nhân (1) và (2) theo vế:
Ta có: x2y2 (x2+ y2)<2
đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(xy\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=2\)
Dấu = xảy ra khi x = y = 1
https://diendantoanhoc.net/topic/119823-cho-xy2-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-xyx2-y2%E2%80%8B-2/