Question

[Trân Trọng Đạt]

Cho tam giác ABC cân tại A. Nội tiếp đường trong (O). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OC. Đường thẳng này cắt AC  tại D và cắt (O) tại E ( E khác B). Cho biết AB = 8cm và BC =4cm, tính đọ dài các đoạn thẳng DE, OA, OD.

giúp vsssss

Answer 1

[Agatsuma Zenitsu]

Tính OA:

\(BH=CH=\frac{BC}{2}=2\)

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\)

\(\sin\widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\)

\(OA=R=\frac{AB}{2}\sin\widehat{ABH}=\frac{AB^2}{2AH}=\frac{64}{4\sqrt{15}}=16\sqrt{15}\)

Tính DE:

Vì: \(OC\perp BE\Rightarrow BC=CE=4\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BAC}\) 

\(\Rightarrow\Delta BCD=\Delta ABC\) (g.g vì có chung \(\widehat{C}\))

\(\Rightarrow BD=BC=4\)

\(\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow CD=\frac{BC}{2}=2\Rightarrow AD=AC-CD=6\)

Mặt khác: \(BD.DE=AD.CD\Rightarrow DE=AD.\frac{CD}{BD}=6.\frac{2}{4}=3\)

Tính OD:

Ta có \(\cos\widehat{OAD}=\frac{AH}{AC}=\frac{2\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)

Áp đụng định lí hàm số  cosin vào \(\Delta OAD\)

\(OD^2=OA^2+AD^2-2OA.AD.\cos\widehat{OAD}\)

\(=\frac{16^2}{15}+6^2-2.\frac{16}{\sqrt{15}}.6.\frac{\sqrt{15}}{4}\)

\(=\frac{256}{15}+36-48=\frac{76}{15}\)

\(\Rightarrow OD=2\sqrt{\frac{19}{15}}\)

_{(Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và hình hơi xấu thông cảm :D  mới thử làm dạng này nên sai chỗ nào thì bỏ qua nha)}

Answer 2

[LT丶Hằng㊰]

* Hình vẽ nhìn nó không cân lắm nên bạn chỉnh lại ạ

- Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , => H là trung điểm của BC

- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác AHB vuông tại H , ta có :

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{AB.AC.BC}{4.OA}\)

\(\Rightarrow OA=\frac{AB.AC.BC}{4.S_{ABC}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}\left(cm\right)\)

- Gọi S là giao điểm của BE và OC , T là trung điểm của AC \(\Rightarrow OT\perp AC\)

- Các tứ giác BOSH , OTDS nội tiếp nên :

\(CH.CB=CD.CT\left(=CS.CO\right)=8\Rightarrow CD=\frac{8}{CT}=2\left(cm\right)\)

=> D là trung điểm của CT và AD = 6cm

Vậy : \(BC^2=CD.CA\left(=16cm\right)\)nên \(\Delta ABC~\Delta BCD\left(c-g-c\right)\)nên tam giác BCD cũng cân tại B => BC = BD = 4cm

Ta lại có : \(\Delta DBC~\Delta DAE\left(g-g\right)\Rightarrow BD.DE=CD.AD\Rightarrow DE=\frac{12}{AD}=3\left(cm\right)\)

- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác OSE vuông tại S , ta có :

\(OS=\sqrt{OE^2-SE^2}=\frac{17\sqrt{15}}{30}\left(cm\right)\)

- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác vuông OSD vuông tại S , ta có :

\(OD=\sqrt{SD^2+OS^2}=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)

Vậy : DE = 3cm ; \(OA=\frac{16\sqrt{15}}{30}\left(cm\right);OD=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)