cho a,b,c >0 CMR:
\(\frac{a^4+b^4+c^4}{abc}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
22 tháng 7 2017
\(\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}=\frac{a^6}{a^2b+a^2c}+\frac{b^6}{b^2a+b^2c}+\frac{c^6}{c^2a+c^2b}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\)
NH
3
19 tháng 2 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(Gt\Rightarrow a+b+c=1\Rightarrow3\sqrt[3]{abc}\ge1\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{1}{27}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\b^4+c^4\ge2b^2c^2\\c^4+a^4\ge2c^2a^2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế rồi thu gọn ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\left(1\right)\)
Sử dụng AM-GM lần nữa:
\(\left\{\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2\sqrt{a^2c^2}=2ab^2c\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\\c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{27}\)\(\left(\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\abc\ge\frac{1}{27}\end{matrix}\right.\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có được ĐPCM
20 tháng 2 2017
Áp dụng bđt a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca ta co:
3(a2 + b2 + c2) \(\ge\) a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 = 1
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{1+1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{3}=\frac{1}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
ND
2
30 tháng 4 2020
Ta có BĐT sau:
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(true\right)\)
Khi đó tương tự ta có nốt \(\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\ge\frac{b+c}{2};\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{c+a}{2}\)
Khi đó \(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
Ta dễ chứng minh được
\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}=\frac{b^4}{a^3+b^3}+\frac{c^4}{b^3+c^3}+\frac{a^4}{a^3+c^3}\)( trừ cái là xong )
Khi đó \(LHS\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
T
11 tháng 11 2019
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
T
6 tháng 7 2020
Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:
Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)
Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$
\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)
\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)
Cách khác:
Xét hiệu:\(a^4+b^4+c^4-abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\left(a^2+c^2-2b^2\right)^2+\left(ab+bc-2ca\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(a-c\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+b^2\right]\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Bài đơn giản, làm 3 dòng:DDD (vắn tắt tuyệt đối)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^4+b^4+c^4)(1+1+1)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\)
\((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2).\frac{(a+b+c)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{9}.(a+b+c)(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$
hay $\frac{a^4+b^4+c^4}{abc}\geq a+b+c$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$