Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa \(a+b+c=3\). Tìm GTLN của \(P=a^4+b^4+c^4-3abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
L
7 tháng 9 2023
Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:
Với thì
Cách CM:
BĐT trên tương đương với: (luôn đúng)
Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(1-c=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow4ab\le\left(1-c\right)^2\)
\(2bc+ca\le2bc+2ca=2c\left(a+b\right)=2c\left(1-c\right)\)
Từ đó ta có:
\(P\le\left(1-c\right)^2+2c\left(1-c\right)=1-c^2\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 2 2021
Lời giải:
Đặt $\sqrt{4-a^2}=x; \sqrt{4-b^2}=y; \sqrt{4-c^2}=z$ thì bài toán trở thành:
Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=6$. Tìm min: $P=x+y+z$
-------------------
Ta có: $P^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=6+2(xy+yz+xz)$
Vì $x,y,z\in [0;2]$ nên:
$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq xyz+4(x+y+z)-8\geq 4(x+y+z)-8=4P-8$
Vậy $P^2=6+2(xy+yz+xz)\geq 6+4P-8$
$\Leftrightarrow P^2-4P+2\geq 0$
$\Leftrightarrow (P-2)^2\geq 2\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{2}$.
Vậy $P_{\min}=2+\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,2,\sqrt{2})$ và hoán vị
HD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 11 2021
Lời giải:
Vì $a,b,c$ không âm và $a+b+c=2\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 2$
Khi đó:
$a\leq 12a$
$2b^2=2b.b\leq 4b\leq 12b$
$3c^3=3c^2.c\leq 3.2^2.c=12c$
$\Rightarrow P=a+2b^2+3c^3\leq 12(a+b+c)=24$
Vậy $P_{\max}=24$ khi $(a,b,c)=(0,0,2)$
5 tháng 12 2019
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2-2abc^2\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^4+b^4+\left(c^2-ab\right)^2\right)\)
\(\ge\left(a^3+b^3+c\left(c^2-ab\right)\right)^2\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3-abc\right)^2\ge\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2=1\)
\(\Rightarrow B\ge1\)
Dự đoán Max P = 81 nên ta chứng minh: \(P\le81=\left(a+b+c\right)^4\)
Ta có: \(P=a^4+b^4+c^4-3abc\le a^4+b^4+c^4+78abc\)
\(=a^4+b^4+c^4+26\left(a+b+c\right)abc\)
Vậy ta chứng minh: \(a^4+b^4+c^4+26abc\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)^4\)
SOS là ra rồi :DD
Chứng minh:\(a^4+b^4+c^4+26abc\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)^4\)
Giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\).Xét hiệu: