Cho x,y,z tjoar mãn x>1/2 y>1/3 z>1 (lớn hơn hoặc bằng) x+y+z bé hơn hoặc bằng 3
Tìm max \(A=\sqrt{2x-1}+\sqrt{3y-1}+\sqrt{z-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
23 tháng 7 2016
Đặt \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(B.C.S\) cho hai bộ số thực không âm gồm có \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\) và \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\) \(\left(2\right);\) \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) , suy ra:
\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Ta có:
\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)
Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho \(\left(i\right)\) , ta có:
\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)
\(=6+6+6+72-8=82\)
Do đó, \(K\ge82\)
Suy ra \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
14 tháng 8 2016
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 3 2021
** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán!
Đề cần sửa thành $\leq \frac{4}{3}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{(x^2+z^2)+(x^2+y^2)}\leq \frac{1}{2xy+2xz}=\frac{1}{2}.\frac{1}{xy+xz}\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(\sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)=\frac{x+y+z}{4xyz}\) $(1)$
Mặt khác:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\Rightarrow 4xyz=xy+yz+xz$
$\Rightarrow 16x^2y^2z^2=(xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ (theo BĐT AM-GM)
$\Rightarrow x+y+z\leq \frac{16}{3}xyz (2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{4}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+x^2+z^2}\le\dfrac{1}{2xy+2xz}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{x^2+2y^2+z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\right)\) ; \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2=\dfrac{4}{3}\)
Đề bài sai
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
\(2x^2+3y^2+4z^2=21\Rightarrow2x^2\le21-3.1^2-4.1^2=14\)
\(\Rightarrow x\le\sqrt{7}\)
Tương tự ta có \(y\le\sqrt{5}\) và \(z\le2\)
Do đó:
\(\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\Rightarrow z^2+2\le3z\Rightarrow4z^2+8\le12z\) (1)
\(\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\Rightarrow2x^2+10\le12x\) (2)
\(\left(y-1\right)\left(3y-9\right)\le0\Leftrightarrow3y^2+9\le12y\) (3)
Cộng vế (1);(2) và (3):
\(\Rightarrow12\left(x+y+z\right)\ge2x^2+3y^2+4z^2+27\ge48\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge4\)
\(M_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
Theo chứng minh ban đầu ta có: \(z\le2\Rightarrow z-2\le0\)
Theo giả thiết \(z\ge1\Rightarrow z-1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)
Tương tự: \(x< \sqrt{5}< 5\Rightarrow x-5< 0\Rightarrow2x-10< 0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\)
y cũng như vậy
2 tháng 7 2017
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải