Cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB = 2a, ( a > 0 ), góc DAB = 120. AH vuông góc với CD tại H. tính vecto \(\overrightarrow{AH}\left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BH}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}^2+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AD}\)
\(=\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=a^2-a.2a=-a^2\)
\(cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BA}\right)=cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB'}\right)=cos\widehat{CAB'}=cos135^o\)\(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\(sin\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)=sin90^o=1\) do \(AC\perp BD\).
\(cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)=cos180^o=-1\) do hai véc tơ \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\) ngược hướng.
\(\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=OD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\right|=2\left|\overrightarrow{AB}\right|=2AB=2a\)
\(\left|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=a\sqrt{2}\)
\(\widehat{A}=120^0\Rightarrow\widehat{D}=60^0\Rightarrow\left|AH\right|=\left|DH\right|.tan60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\left|AD\right|=\frac{AH}{sin60^0}=a\)
\(AH.\left(CD-4AD\right)=AH.CD-4AH.AD=-4AH.AD\) (do \(AH\perp CD\))
\(=-4\left|AH\right|.\left|AD\right|.cos30^0=-4.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=-3a^2\)
\(AC.BH=\left(AH+HC\right).BH=AH.BH+HC.BH\)
\(=HA.HB-HC.HB=\left|AH\right|.\left|BH\right|.cos45^0-\left|HC\right|.\left|BH\right|.cos45^0\)
Với lưu ý \(\left|HC\right|=\left|CD\right|-\left|DH\right|=\frac{3a}{2}\)
Bạn tự thay số vào tính nốt
Thankss