CHỨNG MINH RẰNG VỚI MỌI SỐ A VÀ B TA LUÔN CÓ \(A^2+B^2+1\ge A.B+ A+B\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2
27 tháng 4 2022
`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`
`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`
`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`
`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)
`=>` Đẳng thức được c/m
_________________________________________
`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`
`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`
`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)
`=>` Đẳng thức được c/m
VA
1
28 tháng 4 2020
\(a^2+b^2+b+\frac{5}{2}\ge ab+2a\)
<=> \(a^2-2a-ab+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(a^2-\left(2+b\right)a+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2-\frac{\left(2+b\right)^2}{4}+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2-\frac{\left(2+b\right)^2}{4}+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+\frac{3}{2}\ge0\) đúng với mọi a; b
Nhưng không xảy ra dấu bằng. Bạn xem lại đề nhé!
ND
0
NH
0
20 tháng 3 2023
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
7 tháng 8 2021
Bài 1:
b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)
\(=4n^2-9-4n^2+36n\)
\(=36n-9⋮9\)
GN
1
12 tháng 11 2017
Chứng minh bđt phụ :
Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)với \(\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(*)
Áp dụng bđt (*), ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)
Lại có :\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abbc+bcca+caab=abc\left(a+b+c\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Vậy \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Phần dấu = xảy ra không biết bạn có cần không nhưng thầy mình bảo phải ghi vào mới được điểm tối đa
22 tháng 3 2021
1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số
Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: \(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2\)
(Biến đổi tương đương)
Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:
\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)
nhân 2 cả 2 vế lên r biến đổi tương đương