Question

[Ánh Dương]

1. giải phương trình \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2\left(\sqrt{x^2-16}+x-6\right)\)

2. cho \(T=sin^6x+cos^6x+3sin^2x.cos^2x+tan^2x.cos^2x+cotan^2x.sin^2x\)

3. cho a và b là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b=1. CMR: đẳng thức xảy ra khi nào?

4. giải bằng hai cách:

tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình \(x^2-2y^2=1\)

Answer 1

[Võ Hồng Phúc]

\(1.\)

ĐKXĐ : \(x\ge4\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x^2-16}+2x-12\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=x+4+2\sqrt{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}+x-4-12\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=\left(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}\right)^2-12\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=y\) \(\left(y>0\right)\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow y=y^2-12\)

\(y^2-y-12=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-4y+3y-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)\left(y+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=4\\y=-3\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(y=4\Leftrightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-16}=16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-16}=8-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8-x\ge0\\x^2-16x=x^2-16x+64\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le8\\0x=64\left(\text{vô nghiệm}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

1/ ĐKXĐ: \(x\ge4\)

Đặt \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=a>0\)

\(\Rightarrow a^2=2x+2\sqrt{x^2-16}\Rightarrow x+\sqrt{x^2-16}=\frac{a^2}{2}\)

Phương trình trở thành:

\(a=2\left(\frac{a^2}{2}-6\right)\Leftrightarrow a^2-a-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=3\Rightarrow2x+2\sqrt{x^2-16}=9\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x^2-16}=9-2x\) (\(x\le\frac{9}{2}\))

\(\Rightarrow4\left(x^2-16\right)=\left(9-2x\right)^2\)

Phương trình bậc 2 rồi đó, bạn tự giải

2/ Cho T rồi bắt làm gì bây giờ bạn ơi?

3/ Chứng minh cái gì bạn ơi?

4/ Không giải được bạn ơi, pt này chỉ giải được khi x; y là số nguyên tố, không phải số nguyên, mình gặp vài chục lần rồi nên vẫn nhớ :(