TOÁN 8 cho điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho tiaAO,OB,OC cắt BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F .
CHỨNG MINH: a) \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{ÒF}\ge6\)
b) \(\frac{OA}{OD}.\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}\ge8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 9 2016
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC
15 tháng 1 2020
kẻ đường cao AH có: \(\frac{OA'}{AA'}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\), ta có:
\(\frac{OB'}{BB'}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\) (đpcm)
Nguồn: HiệU NguyễN
a
Ta có:
\(OA=AD-OD=\frac{2S_{ABC}}{BC}-\frac{2S_{BOC}}{BC}=\frac{2\left(S_{ABC}-S_{BOC}\right)}{BC}\)
\(OD=2S_{BOC}\Rightarrow\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\Rightarrow\frac{OA}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)
Tương tự
\(\frac{OB}{OE}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT s-vác ta có:
\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3\ge S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}=\frac{9S_{ABC}}{S_{ABC}}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" xảy ra tại \(S_{OAB}=S_{OBC}=S_{COA}\Leftrightarrow O\) là trọng tâm của tam giác.
b
Em nghĩ đề là \(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge8\)
Nếu vậy thì e lm như sau:
Ta có:\(\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{BOC}}\)
Tương tự ta có:\(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OF}=\frac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{BOA}}\)
Đặt \(\left(S_{COA};S_{BOA};S_{BOC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)
Ta có:
\(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(S_1+S_2\ge2\sqrt{S_1\cdot S_2};S_2+S_3\ge2\sqrt{S_2\cdot S_3};S_3+S_1\ge2\sqrt{S_3\cdot S_1}\)
\(\Rightarrow\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge\frac{8\cdot S_1\cdot S_2\cdot S_3}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra tại \(S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC.
Câu a. Dòng đầu tiên là nhầm rồi Huy. AD đâu phải đường cao đâu thế tại sao: \(AD=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}\)???
Bài này có thể giải:
a.
Có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{AD-OD}{OD}=\frac{AD}{OD}-1=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta OBC}}-1\)
Tương tự: \(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BAC}}{S_{OAC}}-1\); \(\frac{OC}{OF}=\frac{S_{CAB}}{S_{OAB}}-1\)
=> \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAB}}-3\)
\(=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{OBC}}+\frac{1}{S_{OAC}}+\frac{1}{S_{OAB}}\right)-3\ge S_{ABC}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{S_{OBC}+S_{OAC}+S_{OAB}}-3=\frac{S_{ABC}.9}{S_{ABC}}-3=6\)
"=" xảy ra <=> O là trọng tâm
b. Làm đúng rồi.