Question

[Hoàng Minh]

Câu 2

a. Tìm các số tự nhiên x sao cho 65+x^2 là bình phương của 1 số tự nhiên

b. Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n=1,2,..., ta luôn có An= 8^n+6 là bội của 7

c. Để sửa 1 ngôi nhà cần 1 số thợ làm việc trong 1 thời gian quy định. Nếu giảm 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Biết rằng khả năng lao động của mọi thợ là như nhau, theo quy định thì cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ Đặt \(x^2+65=k^2\) (\(k\in N\))

\(\Rightarrow k^2-x^2=65\)

\(\Rightarrow\left(k-x\right)\left(k+x\right)=65\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k-x=5\\k+x=13\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2x=8\Rightarrow x=4\)

b/ Ta có \(8\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow8^n\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow8^n+6\equiv7\left(mod7\right)\Rightarrow\left(8^n+6\right)⋮7\)

c/ Gọi số thợ và số ngày quy định là \(x;y\)

Theo bài ra ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(y+6\right)=xy\\\left(x+2\right)\left(y-2\right)=xy\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-3y=18\\-2x+2y=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=10\end{matrix}\right.\)