Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 7 2021
a;b;c ;à độ dài 3 cạnh của tam giác \(\Rightarrow a;b;c>0\)
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (do \(a+b+c>0\))
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Hay tam giác ABC đều
6 tháng 1 2018
C/m \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
+) Từ giải thiết suy ra : \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)( Vì a + b + c > 0 )
+) Biến đổi được kết quả : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)Tam giác đó là tam giác đề ( đpcm 0
Vậy tam giác đó là tam giác đều
KT
6 tháng 1 2018
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của tam giác nên \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2=0\) (mk lm tắt nhé)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)
Vậy tam giác đó là tam giác đều
LA
7 tháng 7 2017
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 10
Lời giải:
$a^3+b^3+c^3=3abc$
$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$
$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$
Hiển nhiên $a+b+c>0$ với mọi $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Do mỗi số $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$.
$\Rightarrow$ để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$
$\Rightarrow a=b=c$
$\Rightarrow ABC$ là tam giác đều.
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2023
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a;b;c>0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
Hay tam giác ABC đều
LN
3
20 tháng 11 2014
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a2+b2+c2-ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
PT
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8.Chứng minh tam giác đó đều
1
SV
23 tháng 2 2015
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
Ta có (a +b)2 >=4ab với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> a = b
(b+c)2 >=4bc, với mọi b,c >0. Dấu = xảy ra <=> b = c
(c+a)2 >=4ca, với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> c = a
=> (a+b)2(b+c)2(c+a)2 >=64a2b2c2 (a,b,c >0)
=> (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc => (a+b)(b+c)(c+a)/abc >=8
Dấu = xảy ra <=> a = b = c <=> Tam giác đều
TT
2
KT
24 tháng 3 2018
\(a^3+b^3+3abc>c^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3-c^3+3abc>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b\right)+3abc>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)\left(a^2+2ab+b^2+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\right)>0\)
\(a,\)\(b,\)\(c\) là 3 cạnh tam giác
\(\Rightarrow\)\(a+b-c>0\)(BĐT tam giác)
\(a^2+b^2+c^2+Ab+ac+bc>0\) do a,b,c >0
suy ra: \(\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac\right)>0\)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3-c^3+3abc>0\)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+3abc>c^3\)
P/S: phần BĐT mk trình bày kém, mong các bn giúp đỡ
12 tháng 3 2017
\(a^3-b^3-c^3=3abc\)
\(\Rightarrow a^3-b^3-c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Mà \(a+b+c\ne0\) (độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0;\left(b-c\right)^2=0;\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Do đó tam giác ABC là tam giác đều
dễ mà bạn . áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số không âm ta có:
a^3+b^3+c^3>=3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)=>a^3+b^3+c^3>=3abc.
dấu bằng xảy ra khi a=b=c. vậy nếu a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c hay tam giac ABC là tam giác đều!!!!!!
bất đẳng thức cô-si là một trong những BĐT cơ bản rất hay sử dụng khi thi HSG toán 8\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)
Chứng minh (\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)=>\(a+b>=2\sqrt{ab}\)=>\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)vậy nhé !!!!