\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}\: }+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ca}}\)
Với a,b,c >0 . Cm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
6 tháng 7 2019
a) Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
6 tháng 7 2019
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\)
\(=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si :
\(\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta có :
\(VT\le\frac{\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)}{2}\)
\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
16 tháng 7 2019
Ta có \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a+b}}.\sqrt{\frac{bc}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi rút gọn ta được \(VT\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1/3
Ta luôn có :
\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\ge\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{ab}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế :
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\right)\)
\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\ge\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Đặt \(\frac{1}{\sqrt{a}}=x,\frac{1}{\sqrt{b}}=y,\frac{1}{\sqrt{c}}\)=z
Thay vào ta có:\(\sqrt{2}\)(x+y+x)\(\le\)\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)}+\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{\left(y^2+z^2\right)}\)
Ta có bất đẳng thức sau A: (m2+n2)(p2+q2)\(\ge\)(mp+nq)2 dễ dàng chứng mình bằng cách khai triển
áp dụng bdt A với m=x,n=z,p=\(\sqrt{2}\).q=\(\sqrt{2}\) ta được
\(\sqrt{\frac{\left(x^2+z^2\right)\left(\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2\right)}{4}}\ge\sqrt{\left(x\sqrt{2}+z\sqrt{2}\right)^2}\)/2=\(\frac{\sqrt{2}\left(x+y\right)}{2}\)
Tương tự với cái phần tử còn lại ta được điều cần cm